Theorem mpt2exxg 5833

Description: Existence of an operation class abstraction (version for dependent domains). (Contributed by Mario Carneiro, 30-Dec-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
mpt2exg.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
mpt2exxg	|- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Distinct variable groups:   x, A, y   y, B

Allowed substitution hints:   B( x)   C( x, y)   R( x, y)   S( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem mpt2exxg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mpt2exg.1	. . 3 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2	1	mpt2fun 5603	. 2 |- Fun F
3	1	dmmpt2ssx 5825	. . 3 |- dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B )
4		vex 2560	. . . . . . 7 |- x e. _V
5		snexg 3936	. . . . . . 7 |- ( x e. _V -> { x } e. _V )
6	4, 5	ax-mp 7	. . . . . 6 |- { x } e. _V
7		xpexg 4452	. . . . . 6 |- ( ( { x } e. _V /\ B e. S ) -> ( { x } X. B ) e. _V )
8	6, 7	mpan 400	. . . . 5 |- ( B e. S -> ( { x } X. B ) e. _V )
9	8	ralimi 2384	. . . 4 |- ( A. x e. A B e. S -> A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
10		iunexg 5746	. . . 4 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
11	9, 10	sylan2 270	. . 3 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V )
12		ssexg 3896	. . 3 |- ( ( dom F C_ U_ x e. A ( { x } X. B ) /\ U_ x e. A ( { x } X. B ) e. _V ) -> dom F e. _V )
13	3, 11, 12	sylancr 393	. 2 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> dom F e. _V )
14		funex 5384	. 2 |- ( ( Fun F /\ dom F e. _V ) -> F e. _V )
15	2, 13, 14	sylancr 393	1 |- ( ( A e. R /\ A. x e. A B e. S ) -> F e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   {csn 3375   U_ciun 3657   X. cxp 4343   dom cdm 4345   Fun wfun 4896   |-> cmpt2 5514

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768

This theorem is referenced by:  mpt2exg  5834  mpt2ex  5836