ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  addcanpig Structured version   GIF version

Theorem addcanpig 6180
Description: Addition cancellation law for positive integers. (Contributed by Jim Kingdon, 27-Aug-2019.)
Assertion
Ref Expression
addcanpig ((A N B N 𝐶 N) → ((A +N B) = (A +N 𝐶) ↔ B = 𝐶))

Proof of Theorem addcanpig
StepHypRef Expression
1 addpiord 6162 . . . . 5 ((A N B N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
213adant3 906 . . . 4 ((A N B N 𝐶 N) → (A +N B) = (A +𝑜 B))
3 addpiord 6162 . . . . 5 ((A N 𝐶 N) → (A +N 𝐶) = (A +𝑜 𝐶))
433adant2 905 . . . 4 ((A N B N 𝐶 N) → (A +N 𝐶) = (A +𝑜 𝐶))
52, 4eqeq12d 2027 . . 3 ((A N B N 𝐶 N) → ((A +N B) = (A +N 𝐶) ↔ (A +𝑜 B) = (A +𝑜 𝐶)))
6 pinn 6155 . . . 4 (A NA 𝜔)
7 pinn 6155 . . . 4 (B NB 𝜔)
8 pinn 6155 . . . 4 (𝐶 N𝐶 𝜔)
9 nnacan 5984 . . . . 5 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((A +𝑜 B) = (A +𝑜 𝐶) ↔ B = 𝐶))
109biimpd 132 . . . 4 ((A 𝜔 B 𝜔 𝐶 𝜔) → ((A +𝑜 B) = (A +𝑜 𝐶) → B = 𝐶))
116, 7, 8, 10syl3an 1158 . . 3 ((A N B N 𝐶 N) → ((A +𝑜 B) = (A +𝑜 𝐶) → B = 𝐶))
125, 11sylbid 139 . 2 ((A N B N 𝐶 N) → ((A +N B) = (A +N 𝐶) → B = 𝐶))
13 oveq2 5432 . 2 (B = 𝐶 → (A +N B) = (A +N 𝐶))
1412, 13impbid1 130 1 ((A N B N 𝐶 N) → ((A +N B) = (A +N 𝐶) ↔ B = 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 867   = wceq 1223   wcel 1366  𝜔com 4228  (class class class)co 5424   +𝑜 coa 5901  Ncnpi 6118   +N cpli 6119
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-13 1377  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-coll 3835  ax-sep 3838  ax-nul 3846  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-un 4108  ax-setind 4192  ax-iinf 4226
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-fal 1229  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ne 2179  df-ral 2280  df-rex 2281  df-reu 2282  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-dif 2888  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-nul 3193  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-int 3579  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-suc 4046  df-iom 4229  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-rn 4271  df-res 4272  df-ima 4273  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-f 4821  df-f1 4822  df-fo 4823  df-f1o 4824  df-fv 4825  df-ov 5427  df-oprab 5428  df-mpt2 5429  df-1st 5678  df-2nd 5679  df-recs 5830  df-irdg 5866  df-oadd 5908  df-ni 6150  df-pli 6151
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator