Theorem distrnqg 6485

Description: Multiplication of positive fractions is distributive. (Contributed by Jim Kingdon, 17-Sep-2019.)

Assertion

Ref	Expression
distrnqg	|- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )

Proof of Theorem distrnqg

Dummy variables u v w x y z f g h are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nqqs 6446	. 2 |- Q. = ( ( N. X. N. ) /. ~Q )
2		addpipqqs 6468	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. z , w >. ] ~Q +Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q )
3		mulpipqqs 6471	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
4		mulclpi 6426	. . . . . . 7 |- ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. )
5		simpl 102	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> y e. N. )
6		mulclpi 6426	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y .N ( w .N u ) ) e. N. )
7	5, 6	jca 290	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
8	4, 7	anim12i 321	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
9		an12 495	. . . . . . 7 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
10		3anass 889	. . . . . . 7 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) <-> ( y e. N. /\ ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) )
11	9, 10	bitr4i 176	. . . . . 6 |- ( ( ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) ) <-> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
12	8, 11	sylib 127	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) /\ ( y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
13	12	an4s 522	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) )
14		mulcanenqec 6484	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) e. N. /\ ( y .N ( w .N u ) ) e. N. ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
15	13, 14	syl 14	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q = [ <. ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) , ( y .N ( w .N u ) ) >. ] ~Q )
16	3, 15	eqtr4d 2075	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) , ( w .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) , ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) >. ] ~Q )
17		mulpipqqs 6471	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. z , w >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q )
18		mulpipqqs 6471	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( [ <. x , y >. ] ~Q .Q [ <. v , u >. ] ~Q ) = [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q )
19		addpipqqs 6468	. 2 |- ( ( ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) /\ ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) ) -> ( [ <. ( x .N z ) , ( y .N w ) >. ] ~Q +Q [ <. ( x .N v ) , ( y .N u ) >. ] ~Q ) = [ <. ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) , ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) >. ] ~Q )
20		mulclpi 6426	. . . . 5 |- ( ( z e. N. /\ u e. N. ) -> ( z .N u ) e. N. )
21		mulclpi 6426	. . . . 5 |- ( ( w e. N. /\ v e. N. ) -> ( w .N v ) e. N. )
22		addclpi 6425	. . . . 5 |- ( ( ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
23	20, 21, 22	syl2an 273	. . . 4 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
24	23	an42s 523	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
25		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( w e. N. /\ u e. N. ) -> ( w .N u ) e. N. )
26	25	ad2ant2l 477	. . 3 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
27	24, 26	jca 290	. 2 |- ( ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) )
28		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ z e. N. ) -> ( x .N z ) e. N. )
29		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ w e. N. ) -> ( y .N w ) e. N. )
30	28, 29	anim12i 321	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ z e. N. ) /\ ( y e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
31	30	an4s 522	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) ) -> ( ( x .N z ) e. N. /\ ( y .N w ) e. N. ) )
32		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( x e. N. /\ v e. N. ) -> ( x .N v ) e. N. )
33		mulclpi 6426	. . . 4 |- ( ( y e. N. /\ u e. N. ) -> ( y .N u ) e. N. )
34	32, 33	anim12i 321	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ v e. N. ) /\ ( y e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
35	34	an4s 522	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N v ) e. N. /\ ( y .N u ) e. N. ) )
36		an42 521	. . . . 5 |- ( ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
37	36	anbi2i 430	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
38		3anass 889	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) ) )
39		3anass 889	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) ) )
40	37, 38, 39	3bitr4i 201	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) <-> ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) )
41		mulclpi 6426	. . . . . 6 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
42	41	ancoms 255	. . . . 5 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( y .N x ) e. N. )
43		distrpig 6431	. . . . 5 |- ( ( ( y .N x ) e. N. /\ ( z .N u ) e. N. /\ ( w .N v ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
44	42, 20, 21, 43	syl3an 1177	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) )
45		simp1r 929	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
46		simp1l 928	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
47	20	3ad2ant2 926	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( z .N u ) e. N. )
48	21	3ad2ant3 927	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N v ) e. N. )
49	47, 48, 22	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. )
50		mulasspig 6430	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ x e. N. /\ ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) e. N. ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
51	45, 46, 49, 50	syl3anc 1135	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) = ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) )
52		mulcompig 6429	. . . . . . . . 9 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( x .N y ) = ( y .N x ) )
53	52	oveq1d 5527	. . . . . . . 8 |- ( ( x e. N. /\ y e. N. ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
54	53	adantr 261	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) )
55		simpll 481	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> x e. N. )
56		simplr 482	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> y e. N. )
57		simprl 483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> z e. N. )
58		mulcompig 6429	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
59	58	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
60		mulasspig 6430	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
61	60	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
62		simprr 484	. . . . . . . 8 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> u e. N. )
63		mulclpi 6426	. . . . . . . . 9 |- ( ( f e. N. /\ g e. N. ) -> ( f .N g ) e. N. )
64	63	adantl 262	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
65	55, 56, 57, 59, 61, 62, 64	caov4d 5685	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( x .N y ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
66	54, 65	eqtr3d 2074	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
67	66	3adant3 924	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) = ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) )
68		simplr 482	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> y e. N. )
69		simpll 481	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> x e. N. )
70		simprl 483	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
71	58	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
72	60	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
73		simprr 484	. . . . . . 7 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> v e. N. )
74	63	adantl 262	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
75	68, 69, 70, 71, 72, 73, 74	caov4d 5685	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
76	75	3adant2 923	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) = ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) )
77	67, 76	oveq12d 5530	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( ( y .N x ) .N ( z .N u ) ) +N ( ( y .N x ) .N ( w .N v ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
78	44, 51, 77	3eqtr3d 2080	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
79	40, 78	sylbir 125	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( x .N ( ( z .N u ) +N ( w .N v ) ) ) ) = ( ( ( x .N z ) .N ( y .N u ) ) +N ( ( y .N w ) .N ( x .N v ) ) ) )
80	70	3adant2 923	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> w e. N. )
81	62	3adant3 924	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> u e. N. )
82	80, 81, 25	syl2anc 391	. . . . 5 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( w .N u ) e. N. )
83		mulasspig 6430	. . . . 5 |- ( ( y e. N. /\ y e. N. /\ ( w .N u ) e. N. ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
84	45, 45, 82, 83	syl3anc 1135	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) )
85	58	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) = ( g .N f ) )
86	60	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. /\ h e. N. ) ) -> ( ( f .N g ) .N h ) = ( f .N ( g .N h ) ) )
87	63	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) /\ ( f e. N. /\ g e. N. ) ) -> ( f .N g ) e. N. )
88	45, 45, 80, 85, 86, 81, 87	caov4d 5685	. . . 4 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( ( y .N y ) .N ( w .N u ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
89	84, 88	eqtr3d 2074	. . 3 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ u e. N. ) /\ ( w e. N. /\ v e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
90	40, 89	sylbir 125	. 2 |- ( ( ( x e. N. /\ y e. N. ) /\ ( z e. N. /\ w e. N. ) /\ ( v e. N. /\ u e. N. ) ) -> ( y .N ( y .N ( w .N u ) ) ) = ( ( y .N w ) .N ( y .N u ) ) )
91	1, 2, 16, 17, 18, 19, 27, 31, 35, 79, 90	ecovidi 6218	1 |- ( ( A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q. ) -> ( A .Q ( B +Q C ) ) = ( ( A .Q B ) +Q ( A .Q C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   /\ w3a 885   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378  (class class class)co 5512   [cec 6104   N.cnpi 6370   +N cpli 6371   .N cmi 6372   ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378   +Q cplq 6380   .Q cmq 6381

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448

This theorem is referenced by:  ltaddnq  6505  halfnqq  6508  addnqprl  6627  addnqpru  6628  prmuloclemcalc  6663  distrlem1prl  6680  distrlem1pru  6681  distrlem4prl  6682  distrlem4pru  6683