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Theorem halfnqq 6508
Description: One-half of any positive fraction is a fraction. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Sep-2019.)
Assertion
Ref Expression
halfnqq  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Distinct variable group:    x, A

Proof of Theorem halfnqq
StepHypRef Expression
1 1nq 6464 . . . . . . . . 9  |-  1Q  e.  Q.
2 addclnq 6473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  e.  Q.  /\  1Q  e.  Q. )  -> 
( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )
31, 1, 2mp2an 402 . . . . . . . 8  |-  ( 1Q 
+Q  1Q )  e. 
Q.
4 recclnq 6490 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )
53, 4ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.
6 distrnqg 6485 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
73, 5, 5, 6mp3an 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
8 recidnq 6491 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q )
93, 8ax-mp 7 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
109, 9oveq12i 5524 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
117, 10eqtri 2060 . . . . . 6  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( 1Q  +Q  1Q )
1211oveq1i 5522 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
139oveq2i 5523 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )
14 addclnq 6473 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
155, 5, 14mp2an 402 . . . . . . . 8  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.
16 mulassnqg 6482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1715, 3, 5, 16mp3an 1232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
18 mulcomnqg 6481 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  /\  ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q. )  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
1915, 3, 18mp2an 402 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  =  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
2019oveq1i 5522 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( 1Q  +Q  1Q ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( ( 1Q 
+Q  1Q )  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2117, 20eqtr3i 2062 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
224, 4, 14syl2anc 391 . . . . . . 7  |-  ( ( 1Q  +Q  1Q )  e.  Q.  ->  (
( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
23 mulidnq 6487 . . . . . . 7  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q.  ->  ( ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
243, 22, 23mp2b 8 . . . . . 6  |-  ( ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  .Q  1Q )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2513, 21, 243eqtr3i 2068 . . . . 5  |-  ( ( ( 1Q  +Q  1Q )  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )
2612, 25, 93eqtr3i 2068 . . . 4  |-  ( ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  =  1Q
2726oveq2i 5523 . . 3  |-  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( A  .Q  1Q )
28 distrnqg 6485 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  e.  Q. )  ->  ( A  .Q  ( ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
295, 5, 28mp3an23 1224 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( ( *Q
`  ( 1Q  +Q  1Q ) )  +Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
30 mulidnq 6487 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  1Q )  =  A )
3127, 29, 303eqtr3a 2096 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A )
32 mulclnq 6474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) )  e.  Q. )  -> 
( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
335, 32mpan2 401 . . 3  |-  ( A  e.  Q.  ->  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  e. 
Q. )
34 id 19 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )
3534, 34oveq12d 5530 . . . . 5  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( x  +Q  x )  =  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) ) )
3635eqeq1d 2048 . . . 4  |-  ( x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  ->  ( (
x  +Q  x )  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3736adantl 262 . . 3  |-  ( ( A  e.  Q.  /\  x  =  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  ->  (
( x  +Q  x
)  =  A  <->  ( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A ) )
3833, 37rspcedv 2660 . 2  |-  ( A  e.  Q.  ->  (
( ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q 
+Q  1Q ) ) )  +Q  ( A  .Q  ( *Q `  ( 1Q  +Q  1Q ) ) ) )  =  A  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A ) )
3931, 38mpd 13 1  |-  ( A  e.  Q.  ->  E. x  e.  Q.  ( x  +Q  x )  =  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 98    = wceq 1243    e. wcel 1393   E.wrex 2307   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   Q.cnq 6378   1Qc1q 6379    +Q cplq 6380    .Q cmq 6381   *Qcrq 6382
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450
This theorem is referenced by:  halfnq  6509  nsmallnqq  6510  subhalfnqq  6512  addlocpr  6634  addcanprleml  6712  addcanprlemu  6713  cauappcvgprlemm  6743  cauappcvgprlem1  6757  caucvgprlemm  6766
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