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Theorem xrltso 8447
Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso < Or ℝ*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltnr 8431 . . . . 5 (x * → ¬ x < x)
21adantl 262 . . . 4 (( ⊤ x *) → ¬ x < x)
3 xrlttr 8446 . . . . 5 ((x * y * z *) → ((x < y y < z) → x < z))
43adantl 262 . . . 4 (( ⊤ (x * y * z *)) → ((x < y y < z) → x < z))
52, 4ispod 4032 . . 3 ( ⊤ → < Po ℝ*)
65trud 1251 . 2 < Po ℝ*
7 elxr 8426 . . . . 5 (x * ↔ (x x = +∞ x = -∞))
8 elxr 8426 . . . . . . . . . 10 (y * ↔ (y y = +∞ y = -∞))
9 elxr 8426 . . . . . . . . . . . . . 14 (z * ↔ (z z = +∞ z = -∞))
10 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y x ℝ) z ℝ) → x ℝ)
11 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y x ℝ) z ℝ) → y ℝ)
12 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y x ℝ) z ℝ) → z ℝ)
13 axltwlin 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((x y z ℝ) → (x < y → (x < z z < y)))
1410, 11, 12, 13syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y x ℝ) z ℝ) → (x < y → (x < z z < y)))
15 ltpnf 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (x ℝ → x < +∞)
1615ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y x ℝ) z = +∞) → x < +∞)
17 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (z = +∞ → (x < zx < +∞))
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y x ℝ) z = +∞) → (x < zx < +∞))
1916, 18mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y x ℝ) z = +∞) → x < z)
2019orcd 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y x ℝ) z = +∞) → (x < z z < y))
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y x ℝ) z = +∞) → (x < y → (x < z z < y)))
22 mnflt 8434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y ℝ → -∞ < y)
2322ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y x ℝ) z = -∞) → -∞ < y)
24 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (z = -∞ → (z < y ↔ -∞ < y))
2524adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y x ℝ) z = -∞) → (z < y ↔ -∞ < y))
2623, 25mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y x ℝ) z = -∞) → z < y)
2726olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y x ℝ) z = -∞) → (x < z z < y))
2827a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y x ℝ) z = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
2914, 21, 283jaodan 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y x ℝ) (z z = +∞ z = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
309, 29sylan2b 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((y x ℝ) z *) → (x < y → (x < z z < y)))
3130anasss 379 . . . . . . . . . . . 12 ((y (x z *)) → (x < y → (x < z z < y)))
3231ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 (((x z *) y ℝ) → (x < y → (x < z z < y)))
33 ltpnf 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (z ℝ → z < +∞)
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y = +∞ x ℝ) z ℝ) → z < +∞)
35 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (y = +∞ → (z < yz < +∞))
3635ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y = +∞ x ℝ) z ℝ) → (z < yz < +∞))
3734, 36mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y = +∞ x ℝ) z ℝ) → z < y)
3837olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y = +∞ x ℝ) z ℝ) → (x < z z < y))
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y = +∞ x ℝ) z ℝ) → (x < y → (x < z z < y)))
4015ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y = +∞ x ℝ) z = +∞) → x < +∞)
4117adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((y = +∞ x ℝ) z = +∞) → (x < zx < +∞))
4240, 41mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y = +∞ x ℝ) z = +∞) → x < z)
4342orcd 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y = +∞ x ℝ) z = +∞) → (x < z z < y))
4443a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y = +∞ x ℝ) z = +∞) → (x < y → (x < z z < y)))
45 mnfltpnf 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -∞ < +∞
46 breq12 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((z = -∞ y = +∞) → (z < y ↔ -∞ < +∞))
4746ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((y = +∞ z = -∞) → (z < y ↔ -∞ < +∞))
4845, 47mpbiri 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((y = +∞ z = -∞) → z < y)
4948adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((y = +∞ x ℝ) z = -∞) → z < y)
5049olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((y = +∞ x ℝ) z = -∞) → (x < z z < y))
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((y = +∞ x ℝ) z = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
5239, 44, 513jaodan 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 (((y = +∞ x ℝ) (z z = +∞ z = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
539, 52sylan2b 271 . . . . . . . . . . . . 13 (((y = +∞ x ℝ) z *) → (x < y → (x < z z < y)))
5453anasss 379 . . . . . . . . . . . 12 ((y = +∞ (x z *)) → (x < y → (x < z z < y)))
5554ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 (((x z *) y = +∞) → (x < y → (x < z z < y)))
56 rexr 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x ℝ → x *)
57 nltmnf 8439 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x * → ¬ x < -∞)
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (x ℝ → ¬ x < -∞)
5958ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13 (((x z *) y = -∞) → ¬ x < -∞)
60 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 (y = -∞ → (x < yx < -∞))
6160adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13 (((x z *) y = -∞) → (x < yx < -∞))
6259, 61mtbird 597 . . . . . . . . . . . 12 (((x z *) y = -∞) → ¬ x < y)
6362pm2.21d 549 . . . . . . . . . . 11 (((x z *) y = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
6432, 55, 633jaodan 1200 . . . . . . . . . 10 (((x z *) (y y = +∞ y = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
658, 64sylan2b 271 . . . . . . . . 9 (((x z *) y *) → (x < y → (x < z z < y)))
6665anasss 379 . . . . . . . 8 ((x (z * y *)) → (x < y → (x < z z < y)))
6766ancoms 255 . . . . . . 7 (((z * y *) x ℝ) → (x < y → (x < z z < y)))
68 pnfnlt 8438 . . . . . . . . . 10 (y * → ¬ +∞ < y)
6968ad2antlr 458 . . . . . . . . 9 (((z * y *) x = +∞) → ¬ +∞ < y)
70 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 (x = +∞ → (x < y ↔ +∞ < y))
7170adantl 262 . . . . . . . . 9 (((z * y *) x = +∞) → (x < y ↔ +∞ < y))
7269, 71mtbird 597 . . . . . . . 8 (((z * y *) x = +∞) → ¬ x < y)
7372pm2.21d 549 . . . . . . 7 (((z * y *) x = +∞) → (x < y → (x < z z < y)))
74 df-3or 885 . . . . . . . . . . 11 ((z z = +∞ z = -∞) ↔ ((z z = +∞) z = -∞))
759, 74bitri 173 . . . . . . . . . 10 (z * ↔ ((z z = +∞) z = -∞))
76 mnfltxr 8437 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((z z = +∞) → -∞ < z)
7776adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x = -∞ (z z = +∞)) → -∞ < z)
78 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . 15 (x = -∞ → (x < z ↔ -∞ < z))
7978adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 ((x = -∞ (z z = +∞)) → (x < z ↔ -∞ < z))
8077, 79mpbird 156 . . . . . . . . . . . . 13 ((x = -∞ (z z = +∞)) → x < z)
8180orcd 651 . . . . . . . . . . . 12 ((x = -∞ (z z = +∞)) → (x < z z < y))
8281a1d 22 . . . . . . . . . . 11 ((x = -∞ (z z = +∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
83 eqtr3 2056 . . . . . . . . . . . . 13 ((x = -∞ z = -∞) → x = z)
8483breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 ((x = -∞ z = -∞) → (x < yz < y))
85 olc 631 . . . . . . . . . . . 12 (z < y → (x < z z < y))
8684, 85syl6bi 152 . . . . . . . . . . 11 ((x = -∞ z = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
8782, 86jaodan 709 . . . . . . . . . 10 ((x = -∞ ((z z = +∞) z = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
8875, 87sylan2b 271 . . . . . . . . 9 ((x = -∞ z *) → (x < y → (x < z z < y)))
8988ancoms 255 . . . . . . . 8 ((z * x = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
9089adantlr 446 . . . . . . 7 (((z * y *) x = -∞) → (x < y → (x < z z < y)))
9167, 73, 903jaodan 1200 . . . . . 6 (((z * y *) (x x = +∞ x = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
92913impa 1098 . . . . 5 ((z * y * (x x = +∞ x = -∞)) → (x < y → (x < z z < y)))
937, 92syl3an3b 1172 . . . 4 ((z * y * x *) → (x < y → (x < z z < y)))
94933com13 1108 . . 3 ((x * y * z *) → (x < y → (x < z z < y)))
9594rgen3 2400 . 2 x * y * z * (x < y → (x < z z < y))
96 df-iso 4025 . 2 ( < Or ℝ* ↔ ( < Po ℝ* x * y * z * (x < y → (x < z z < y))))
976, 95, 96mpbir2an 848 1 < Or ℝ*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3o 883   w3a 884   = wceq 1242  wtru 1243   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755   Po wpo 4022   Or wor 4023  cr 6670  +∞cpnf 6814  -∞cmnf 6815  *cxr 6816   < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by:  xrlelttr  8452  xrltletr  8453  xrletr  8454
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