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Theorem xrltso 8447
Description: 'Less than' is a weakly linear ordering on the extended reals. (Contributed by NM, 15-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
xrltso  <  Or  RR*

Proof of Theorem xrltso
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xrltnr 8431 . . . . 5  RR*  <
21adantl 262 . . . 4 
RR*  <
3 xrlttr 8446 . . . . 5  RR*  RR* 
RR*  <  <  <
43adantl 262 . . . 4  RR*  RR* 
RR*  <  <  <
52, 4ispod 4032 . . 3  <  Po  RR*
65trud 1251 . 2  <  Po  RR*
7 elxr 8426 . . . . 5  RR*  RR +oo -oo
8 elxr 8426 . . . . . . . . . 10  RR*  RR +oo -oo
9 elxr 8426 . . . . . . . . . . . . . 14  RR*  RR +oo -oo
10 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR  RR  RR
11 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR  RR  RR
12 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR  RR  RR
13 axltwlin 6844 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR  RR  <  <  <
1410, 11, 12, 13syl3anc 1134 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  RR  RR  <  <  <
15 ltpnf 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  RR  < +oo
1615ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  RR  RR +oo  < +oo
17 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +oo  <  < +oo
1817adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  RR  RR +oo  <  < +oo
1916, 18mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  RR  RR +oo  <
2019orcd 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR +oo  <  <
2120a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  RR +oo  <  <  <
22 mnflt 8434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  RR -oo  <
2322ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  RR  RR -oo -oo  <
24 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -oo  < -oo  <
2524adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  RR  RR -oo  < -oo  <
2623, 25mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  RR  RR -oo  <
2726olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  RR  RR -oo  <  <
2827a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  RR -oo  <  <  <
2914, 21, 283jaodan 1200 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  RR  RR +oo -oo  <  <  <
309, 29sylan2b 271 . . . . . . . . . . . . 13  RR  RR  RR*  <  <  <
3130anasss 379 . . . . . . . . . . . 12  RR  RR  RR*  <  <  <
3231ancoms 255 . . . . . . . . . . 11  RR  RR*  RR  <  <  <
33 ltpnf 8432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  RR  < +oo
3433adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +oo  RR  RR  < +oo
35 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +oo  <  < +oo
3635ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +oo  RR  RR  <  < +oo
3734, 36mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +oo  RR  RR  <
3837olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +oo  RR  RR  <  <
3938a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 +oo  RR  RR  <  <  <
4015ad2antlr 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +oo  RR +oo  < +oo
4117adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +oo  RR +oo  <  < +oo
4240, 41mpbird 156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +oo  RR +oo  <
4342orcd 651 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +oo  RR +oo  <  <
4443a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 +oo  RR +oo  <  <  <
45 mnfltpnf 8436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 -oo  < +oo
46 breq12 3760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 -oo +oo  < -oo  < +oo
4746ancoms 255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 +oo -oo  < -oo  < +oo
4845, 47mpbiri 157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 +oo -oo  <
4948adantlr 446 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 +oo  RR -oo  <
5049olcd 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +oo  RR -oo  <  <
5150a1d 22 . . . . . . . . . . . . . . 15 +oo  RR -oo  <  <  <
5239, 44, 513jaodan 1200 . . . . . . . . . . . . . 14 +oo  RR  RR +oo -oo  <  <  <
539, 52sylan2b 271 . . . . . . . . . . . . 13 +oo  RR  RR*  <  <  <
5453anasss 379 . . . . . . . . . . . 12 +oo  RR  RR*  <  <  <
5554ancoms 255 . . . . . . . . . . 11  RR  RR* +oo  <  <  <
56 rexr 6828 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR  RR*
57 nltmnf 8439 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR*  < -oo
5856, 57syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  RR  < -oo
5958ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13  RR  RR* -oo  < -oo
60 breq2 3759 . . . . . . . . . . . . . 14 -oo  <  < -oo
6160adantl 262 . . . . . . . . . . . . 13  RR  RR* -oo  <  < -oo
6259, 61mtbird 597 . . . . . . . . . . . 12  RR  RR* -oo  <
6362pm2.21d 549 . . . . . . . . . . 11  RR  RR* -oo  <  <  <
6432, 55, 633jaodan 1200 . . . . . . . . . 10  RR  RR*  RR +oo -oo  <  <  <
658, 64sylan2b 271 . . . . . . . . 9  RR  RR*  RR*  <  <  <
6665anasss 379 . . . . . . . 8  RR  RR*  RR*  <  <  <
6766ancoms 255 . . . . . . 7  RR*  RR*  RR  <  <  <
68 pnfnlt 8438 . . . . . . . . . 10  RR* +oo  <
6968ad2antlr 458 . . . . . . . . 9  RR*  RR* +oo +oo  <
70 breq1 3758 . . . . . . . . . 10 +oo  < +oo  <
7170adantl 262 . . . . . . . . 9  RR*  RR* +oo  < +oo  <
7269, 71mtbird 597 . . . . . . . 8  RR*  RR* +oo  <
7372pm2.21d 549 . . . . . . 7  RR*  RR* +oo  <  <  <
74 df-3or 885 . . . . . . . . . . 11  RR +oo -oo  RR +oo -oo
759, 74bitri 173 . . . . . . . . . 10  RR*  RR +oo -oo
76 mnfltxr 8437 . . . . . . . . . . . . . . 15  RR +oo -oo  <
7776adantl 262 . . . . . . . . . . . . . 14 -oo  RR +oo -oo  <
78 breq1 3758 . . . . . . . . . . . . . . 15 -oo  < -oo  <
7978adantr 261 . . . . . . . . . . . . . 14 -oo  RR +oo  < -oo  <
8077, 79mpbird 156 . . . . . . . . . . . . 13 -oo  RR +oo  <
8180orcd 651 . . . . . . . . . . . 12 -oo  RR +oo  <  <
8281a1d 22 . . . . . . . . . . 11 -oo  RR +oo  <  <  <
83 eqtr3 2056 . . . . . . . . . . . . 13 -oo -oo
8483breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12 -oo -oo  <  <
85 olc 631 . . . . . . . . . . . 12  <  <  <
8684, 85syl6bi 152 . . . . . . . . . . 11 -oo -oo  <  <  <
8782, 86jaodan 709 . . . . . . . . . 10 -oo  RR +oo -oo  <  <  <
8875, 87sylan2b 271 . . . . . . . . 9 -oo  RR*  <  <  <
8988ancoms 255 . . . . . . . 8  RR* -oo  <  <  <
9089adantlr 446 . . . . . . 7  RR*  RR* -oo  <  <  <
9167, 73, 903jaodan 1200 . . . . . 6  RR*  RR*  RR +oo -oo  <  <  <
92913impa 1098 . . . . 5  RR*  RR*  RR +oo -oo  <  <  <
937, 92syl3an3b 1172 . . . 4  RR*  RR* 
RR*  <  <  <
94933com13 1108 . . 3  RR*  RR* 
RR*  <  <  <
9594rgen3 2400 . 2  RR* 
RR*  RR*  <  <  <
96 df-iso 4025 . 2  < 
Or  RR*  <  Po  RR*  RR*  RR*  RR*  <  <  <
976, 95, 96mpbir2an 848 1  <  Or  RR*
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3o 883   w3a 884   wceq 1242   wtru 1243   wcel 1390  wral 2300   class class class wbr 3755    Po wpo 4022    Or wor 4023   RRcr 6670   +oocpnf 6814   -oocmnf 6815   RR*cxr 6816    < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by:  xrlelttr  8452  xrltletr  8453  xrletr  8454
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