ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfltpnf Structured version   GIF version

Theorem mnfltpnf 8436
Description: Minus infinity is less than plus infinity. (Contributed by NM, 14-Oct-2005.)
Assertion
Ref Expression
mnfltpnf -∞ < +∞

Proof of Theorem mnfltpnf
StepHypRef Expression
1 eqid 2037 . . . 4 -∞ = -∞
2 eqid 2037 . . . 4 +∞ = +∞
3 olc 631 . . . 4 ((-∞ = -∞ +∞ = +∞) → (((-∞ +∞ ℝ) -∞ < +∞) (-∞ = -∞ +∞ = +∞)))
41, 2, 3mp2an 402 . . 3 (((-∞ +∞ ℝ) -∞ < +∞) (-∞ = -∞ +∞ = +∞))
54orci 649 . 2 ((((-∞ +∞ ℝ) -∞ < +∞) (-∞ = -∞ +∞ = +∞)) ((-∞ +∞ = +∞) (-∞ = -∞ +∞ ℝ)))
6 mnfxr 8424 . . 3 -∞ *
7 pnfxr 8422 . . 3 +∞ *
8 ltxr 8425 . . 3 ((-∞ * +∞ *) → (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ +∞ ℝ) -∞ < +∞) (-∞ = -∞ +∞ = +∞)) ((-∞ +∞ = +∞) (-∞ = -∞ +∞ ℝ)))))
96, 7, 8mp2an 402 . 2 (-∞ < +∞ ↔ ((((-∞ +∞ ℝ) -∞ < +∞) (-∞ = -∞ +∞ = +∞)) ((-∞ +∞ = +∞) (-∞ = -∞ +∞ ℝ))))
105, 9mpbir 134 1 -∞ < +∞
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97  wb 98   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  cr 6670   < cltrr 6675  +∞cpnf 6814  -∞cmnf 6815  *cxr 6816   < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-cnex 6734
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by:  mnfltxr  8437  xrlttr  8446  xrltso  8447  xrlttri3  8448  nltpnft  8460  ngtmnft  8461  xltnegi  8478
  Copyright terms: Public domain W3C validator