ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrlelttr Structured version   GIF version

Theorem xrlelttr 8452
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 19-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrlelttr ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B < 𝐶) → A < 𝐶))

Proof of Theorem xrlelttr
StepHypRef Expression
1 simprl 483 . . . . 5 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → AB)
2 simpl1 906 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → A *)
3 simpl2 907 . . . . . 6 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → B *)
4 xrlenlt 6841 . . . . . 6 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
52, 3, 4syl2anc 391 . . . . 5 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → (AB ↔ ¬ B < A))
61, 5mpbid 135 . . . 4 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → ¬ B < A)
76pm2.21d 549 . . 3 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → (B < AA < 𝐶))
8 idd 21 . . 3 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → (A < 𝐶A < 𝐶))
9 simprr 484 . . . 4 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → B < 𝐶)
10 simpl3 908 . . . . 5 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → 𝐶 *)
11 xrltso 8447 . . . . . 6 < Or ℝ*
12 sowlin 4048 . . . . . 6 (( < Or ℝ* (B * 𝐶 * A *)) → (B < 𝐶 → (B < A A < 𝐶)))
1311, 12mpan 400 . . . . 5 ((B * 𝐶 * A *) → (B < 𝐶 → (B < A A < 𝐶)))
143, 10, 2, 13syl3anc 1134 . . . 4 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → (B < 𝐶 → (B < A A < 𝐶)))
159, 14mpd 13 . . 3 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → (B < A A < 𝐶))
167, 8, 15mpjaod 637 . 2 (((A * B * 𝐶 *) (AB B < 𝐶)) → A < 𝐶)
1716ex 108 1 ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B < 𝐶) → A < 𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755   Or wor 4023  *cxr 6816   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by:  xrlelttrd  8456  xrre  8463  xrre2  8464  iooss1  8515  iccssioo  8541  iccssico  8544  iocssioo  8562  ioossioo  8564
  Copyright terms: Public domain W3C validator