ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrre Structured version   GIF version

Theorem xrre 8451
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by NM, 9-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrre (((A * B ℝ) (-∞ < A AB)) → A ℝ)

Proof of Theorem xrre
StepHypRef Expression
1 simprl 483 . 2 (((A * B ℝ) (-∞ < A AB)) → -∞ < A)
2 ltpnf 8420 . . . . . 6 (B ℝ → B < +∞)
32adantl 262 . . . . 5 ((A * B ℝ) → B < +∞)
4 rexr 6820 . . . . . 6 (B ℝ → B *)
5 pnfxr 8410 . . . . . . 7 +∞ *
6 xrlelttr 8440 . . . . . . 7 ((A * B * +∞ *) → ((AB B < +∞) → A < +∞))
75, 6mp3an3 1220 . . . . . 6 ((A * B *) → ((AB B < +∞) → A < +∞))
84, 7sylan2 270 . . . . 5 ((A * B ℝ) → ((AB B < +∞) → A < +∞))
93, 8mpan2d 404 . . . 4 ((A * B ℝ) → (ABA < +∞))
109imp 115 . . 3 (((A * B ℝ) AB) → A < +∞)
1110adantrl 447 . 2 (((A * B ℝ) (-∞ < A AB)) → A < +∞)
12 xrrebnd 8450 . . 3 (A * → (A ℝ ↔ (-∞ < A A < +∞)))
1312ad2antrr 457 . 2 (((A * B ℝ) (-∞ < A AB)) → (A ℝ ↔ (-∞ < A A < +∞)))
141, 11, 13mpbir2and 850 1 (((A * B ℝ) (-∞ < A AB)) → A ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3754  cr 6662  +∞cpnf 6806  -∞cmnf 6807  *cxr 6808   < clt 6809  cle 6810
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-pre-ltirr 6747  ax-pre-ltwlin 6748  ax-pre-lttrn 6749
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-po 4023  df-iso 4024  df-xp 4293  df-cnv 4295  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-ltxr 6814  df-le 6815
This theorem is referenced by:  xrrege0  8456
  Copyright terms: Public domain W3C validator