Theorem pnfxr 8692

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3107	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 7062	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 7005	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4174	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 3932	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2110	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3476	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 2942	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 7064	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2113	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557   ∪ cun 2915  𝒫 cpw 3359  {cpr 3376  ∪ cuni 3580  ℂcc 6887  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ^*cxr 7059

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-un 4170  ax-cnex 6975

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-pnf 7062  df-xr 7064

This theorem is referenced by:  pnfex  8693  pnfnemnf  8697  xrltnr  8701  ltpnf  8702  mnfltpnf  8706  pnfnlt  8708  pnfge  8710  xrlttri3  8718  nltpnft  8730  xrrebnd  8732  xrre  8733  xrre2  8734  xnegcl  8745  xrex  8756  elioc2  8805  elico2  8806  elicc2  8807  ioomax  8817  iccmax  8818  ioopos  8819  elioopnf  8836  elicopnf  8838  unirnioo  8842  elxrge0  8847