Theorem pnfxr 8462

Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
pnfxr	⊢ +∞ ∈ ℝ*

Proof of Theorem pnfxr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssun2 3101	. . 3 ⊢ {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2		df-pnf 6859	. . . . 5 ⊢ +∞ = 𝒫 ∪ ℂ
3		cnex 6803	. . . . . . 7 ⊢ ℂ ∈ V
4	3	uniex 4140	. . . . . 6 ⊢ ∪ ℂ ∈ V
5	4	pwex 3923	. . . . 5 ⊢ 𝒫 ∪ ℂ ∈ V
6	2, 5	eqeltri 2107	. . . 4 ⊢ +∞ ∈ V
7	6	prid1 3467	. . 3 ⊢ +∞ ∈ {+∞, -∞}
8	1, 7	sselii 2936	. 2 ⊢ +∞ ∈ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9		df-xr 6861	. 2 ⊢ ℝ* = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
10	8, 9	eleqtrri 2110	1 ⊢ +∞ ∈ ℝ*

Syntax hints:   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  𝒫 cpw 3351  {cpr 3368  ∪ cuni 3571  ℂcc 6709  ℝcr 6710  +∞cpnf 6854  -∞cmnf 6855  ℝ^*cxr 6856

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-un 4136  ax-cnex 6774

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6859  df-xr 6861

This theorem is referenced by:  pnfex  8463  pnfnemnf  8467  xrltnr  8471  ltpnf  8472  mnfltpnf  8476  pnfnlt  8478  pnfge  8480  xrlttri3  8488  nltpnft  8500  xrrebnd  8502  xrre  8503  xrre2  8504  xnegcl  8515  xrex  8526  elioc2  8575  elico2  8576  elicc2  8577  ioomax  8587  iccmax  8588  ioopos  8589  elioopnf  8606  elicopnf  8608  unirnioo  8612  elxrge0  8617