ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  pnfxr Structured version   GIF version

Theorem pnfxr 8442
Description: Plus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.)
Assertion
Ref Expression
pnfxr +∞ *

Proof of Theorem pnfxr
StepHypRef Expression
1 ssun2 3101 . . 3 {+∞, -∞} ⊆ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
2 df-pnf 6839 . . . . 5 +∞ = 𝒫
3 cnex 6783 . . . . . . 7 V
43uniex 4140 . . . . . 6 V
54pwex 3923 . . . . 5 𝒫 V
62, 5eqeltri 2107 . . . 4 +∞ V
76prid1 3467 . . 3 +∞ {+∞, -∞}
81, 7sselii 2936 . 2 +∞ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
9 df-xr 6841 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
108, 9eleqtrri 2110 1 +∞ *
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  𝒫 cpw 3351  {cpr 3368   cuni 3571  cc 6689  cr 6690  +∞cpnf 6834  -∞cmnf 6835  *cxr 6836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-un 4136  ax-cnex 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6839  df-xr 6841
This theorem is referenced by:  pnfex  8443  pnfnemnf  8447  xrltnr  8451  ltpnf  8452  mnfltpnf  8456  pnfnlt  8458  pnfge  8460  xrlttri3  8468  nltpnft  8480  xrrebnd  8482  xrre  8483  xrre2  8484  xnegcl  8495  xrex  8506  elioc2  8555  elico2  8556  elicc2  8557  ioomax  8567  iccmax  8568  ioopos  8569  elioopnf  8586  elicopnf  8588  unirnioo  8592  elxrge0  8597
  Copyright terms: Public domain W3C validator