Theorem xrrebnd 8732

Description: An extended real is real iff it is strictly bounded by infinities. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
xrrebnd	⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Proof of Theorem xrrebnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxr 8696	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2		id 19	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ)
3		mnflt 8704	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
4		ltpnf 8702	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
5	3, 4	jca 290	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
6	2, 5	2thd 164	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
7		renepnf 7073	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ +∞)
8	7	necon2bi 2260	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
9		pnfxr 8692	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
10		xrltnr 8701	. . . . . . 7 ⊢ (+∞ ∈ ℝ* → ¬ +∞ < +∞)
11	9, 10	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ ¬ +∞ < +∞
12		breq1 3767	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 < +∞ ↔ +∞ < +∞))
13	11, 12	mtbiri 600	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 < +∞)
14	13	intnand 840	. . . 4 ⊢ (𝐴 = +∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
15	8, 14	2falsed 618	. . 3 ⊢ (𝐴 = +∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
16		renemnf 7074	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
17	16	necon2bi 2260	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ 𝐴 ∈ ℝ)
18		mnfxr 8694	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
19		xrltnr 8701	. . . . . . 7 ⊢ (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
20	18, 19	ax-mp 7	. . . . . 6 ⊢ ¬ -∞ < -∞
21		breq2 3768	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
22	20, 21	mtbiri 600	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
23	22	intnanrd 841	. . . 4 ⊢ (𝐴 = -∞ → ¬ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞))
24	17, 23	2falsed 618	. . 3 ⊢ (𝐴 = -∞ → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
25	6, 15, 24	3jaoi 1198	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))
26	1, 25	sylbi 114	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   class class class wbr 3764  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ^*cxr 7059   < clt 7060

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065

This theorem is referenced by:  xrre  8733  xrre2  8734  xrre3  8735  elioc2  8805  elico2  8806  elicc2  8807