ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrre3 GIF version

Theorem xrre3 8733
Description: A way of proving that an extended real is real. (Contributed by FL, 29-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
xrre3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem xrre3
StepHypRef Expression
1 mnflt 8702 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → -∞ < 𝐵)
21adantl 262 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -∞ < 𝐵)
3 mnfxr 8692 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
43a1i 9 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → -∞ ∈ ℝ*)
5 rexr 7069 . . . . . . 7 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
65adantl 262 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 simpl 102 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → 𝐴 ∈ ℝ*)
8 xrltletr 8721 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
94, 6, 7, 8syl3anc 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → ((-∞ < 𝐵𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴))
102, 9mpand 405 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) → (𝐵𝐴 → -∞ < 𝐴))
1110imp 115 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝐵𝐴) → -∞ < 𝐴)
1211adantrr 448 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → -∞ < 𝐴)
13 simprr 484 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 < +∞)
14 xrrebnd 8730 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1514ad2antrr 457 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → (𝐴 ∈ ℝ ↔ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)))
1612, 13, 15mpbir2and 851 1 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐵𝐴𝐴 < +∞)) → 𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wb 98  wcel 1393   class class class wbr 3764  cr 6886  +∞cpnf 7055  -∞cmnf 7056  *cxr 7057   < clt 7058  cle 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator