ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mnfxr Structured version   GIF version

Theorem mnfxr 8444
Description: Minus infinity belongs to the set of extended reals. (Contributed by NM, 13-Oct-2005.) (Proof shortened by Anthony Hart, 29-Aug-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
Assertion
Ref Expression
mnfxr -∞ *

Proof of Theorem mnfxr
StepHypRef Expression
1 df-mnf 6840 . . . . 5 -∞ = 𝒫 +∞
2 pnfex 8443 . . . . . 6 +∞ V
32pwex 3923 . . . . 5 𝒫 +∞ V
41, 3eqeltri 2107 . . . 4 -∞ V
54prid2 3468 . . 3 -∞ {+∞, -∞}
6 elun2 3105 . . 3 (-∞ {+∞, -∞} → -∞ (ℝ ∪ {+∞, -∞}))
75, 6ax-mp 7 . 2 -∞ (ℝ ∪ {+∞, -∞})
8 df-xr 6841 . 2 * = (ℝ ∪ {+∞, -∞})
97, 8eleqtrri 2110 1 -∞ *
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wcel 1390  Vcvv 2551  cun 2909  𝒫 cpw 3351  {cpr 3368  cr 6690  +∞cpnf 6834  -∞cmnf 6835  *cxr 6836
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-un 4136  ax-cnex 6754
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841
This theorem is referenced by:  elxr  8446  xrltnr  8451  mnflt  8454  mnfltpnf  8456  nltmnf  8459  mnfle  8463  xrltnsym  8464  xrlttri3  8468  ngtmnft  8481  xrrebnd  8482  xrre2  8484  xrre3  8485  ge0gtmnf  8486  xnegcl  8495  xltnegi  8498  xrex  8506  elioc2  8555  elico2  8556  elicc2  8557  ioomax  8567  iccmax  8568  elioomnf  8587  unirnioo  8592
  Copyright terms: Public domain W3C validator