Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ngtmnft GIF version

Theorem ngtmnft 8731
 Description: An extended real is not greater than minus infinity iff they are equal. (Contributed by NM, 2-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
ngtmnft (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))

Proof of Theorem ngtmnft
StepHypRef Expression
1 elxr 8696 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 renemnf 7074 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≠ -∞)
32neneqd 2226 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 = -∞)
4 mnflt 8704 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
5 notnot 559 . . . . 5 (-∞ < 𝐴 → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
64, 5syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
73, 62falsed 618 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
8 pnfnemnf 8697 . . . . . 6 +∞ ≠ -∞
9 neeq1 2218 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → (𝐴 ≠ -∞ ↔ +∞ ≠ -∞))
108, 9mpbiri 157 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → 𝐴 ≠ -∞)
1110neneqd 2226 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ 𝐴 = -∞)
12 mnfltpnf 8706 . . . . . . 7 -∞ < +∞
13 breq2 3768 . . . . . . 7 (𝐴 = +∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < +∞))
1412, 13mpbiri 157 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -∞ < 𝐴)
1514necon3bi 2255 . . . . 5 (¬ -∞ < 𝐴𝐴 ≠ +∞)
1615necon2bi 2260 . . . 4 (𝐴 = +∞ → ¬ ¬ -∞ < 𝐴)
1711, 162falsed 618 . . 3 (𝐴 = +∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
18 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
19 mnfxr 8694 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
20 xrltnr 8701 . . . . . 6 (-∞ ∈ ℝ* → ¬ -∞ < -∞)
2119, 20ax-mp 7 . . . . 5 ¬ -∞ < -∞
22 breq2 3768 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → (-∞ < 𝐴 ↔ -∞ < -∞))
2321, 22mtbiri 600 . . . 4 (𝐴 = -∞ → ¬ -∞ < 𝐴)
2418, 232thd 164 . . 3 (𝐴 = -∞ → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
257, 17, 243jaoi 1198 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
261, 25sylbi 114 1 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴 = -∞ ↔ ¬ -∞ < 𝐴))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 98   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204   class class class wbr 3764  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ*cxr 7059   < clt 7060 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065 This theorem is referenced by:  ge0nemnf  8737
 Copyright terms: Public domain W3C validator