ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletri3 Structured version   GIF version

Theorem xrletri3 8451
Description: Trichotomy law for extended reals. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.)
Assertion
Ref Expression
xrletri3 ((A * B *) → (A = B ↔ (AB BA)))

Proof of Theorem xrletri3
StepHypRef Expression
1 xrlttri3 8448 . . 3 ((A * B *) → (A = B ↔ (¬ A < B ¬ B < A)))
2 ancom 253 . . 3 ((¬ B < A ¬ A < B) ↔ (¬ A < B ¬ B < A))
31, 2syl6bbr 187 . 2 ((A * B *) → (A = B ↔ (¬ B < A ¬ A < B)))
4 xrlenlt 6841 . . 3 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
5 xrlenlt 6841 . . . 4 ((B * A *) → (BA ↔ ¬ A < B))
65ancoms 255 . . 3 ((A * B *) → (BA ↔ ¬ A < B))
74, 6anbi12d 442 . 2 ((A * B *) → ((AB BA) ↔ (¬ B < A ¬ A < B)))
83, 7bitr4d 180 1 ((A * B *) → (A = B ↔ (AB BA)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390   class class class wbr 3755  *cxr 6816   < clt 6817  cle 6818
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-apti 6758
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator