ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletr Structured version   GIF version

Theorem xrletr 8494
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B𝐶) → A𝐶))

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrltso 8487 . . . . . 6 < Or ℝ*
2 sowlin 4048 . . . . . 6 (( < Or ℝ* (𝐶 * A * B *)) → (𝐶 < A → (𝐶 < B B < A)))
31, 2mpan 400 . . . . 5 ((𝐶 * A * B *) → (𝐶 < A → (𝐶 < B B < A)))
433coml 1110 . . . 4 ((A * B * 𝐶 *) → (𝐶 < A → (𝐶 < B B < A)))
5 orcom 646 . . . 4 ((𝐶 < B B < A) ↔ (B < A 𝐶 < B))
64, 5syl6ib 150 . . 3 ((A * B * 𝐶 *) → (𝐶 < A → (B < A 𝐶 < B)))
76con3d 560 . 2 ((A * B * 𝐶 *) → (¬ (B < A 𝐶 < B) → ¬ 𝐶 < A))
8 xrlenlt 6881 . . . . 5 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
983adant3 923 . . . 4 ((A * B * 𝐶 *) → (AB ↔ ¬ B < A))
10 xrlenlt 6881 . . . . 5 ((B * 𝐶 *) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
11103adant1 921 . . . 4 ((A * B * 𝐶 *) → (B𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < B))
129, 11anbi12d 442 . . 3 ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B𝐶) ↔ (¬ B < A ¬ 𝐶 < B)))
13 ioran 668 . . 3 (¬ (B < A 𝐶 < B) ↔ (¬ B < A ¬ 𝐶 < B))
1412, 13syl6bbr 187 . 2 ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B𝐶) ↔ ¬ (B < A 𝐶 < B)))
15 xrlenlt 6881 . . 3 ((A * 𝐶 *) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
16153adant2 922 . 2 ((A * B * 𝐶 *) → (A𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < A))
177, 14, 163imtr4d 192 1 ((A * B * 𝐶 *) → ((AB B𝐶) → A𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755   Or wor 4023  *cxr 6856   < clt 6857  cle 6858
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863
This theorem is referenced by:  xrletrd  8498  icc0r  8565  iccss  8580  icossico  8582  iccss2  8583  iccssico  8584
  Copyright terms: Public domain W3C validator