ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xrletr GIF version

Theorem xrletr 8722
Description: Transitive law for ordering on extended reals. (Contributed by NM, 9-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
xrletr ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))

Proof of Theorem xrletr
StepHypRef Expression
1 xrltso 8715 . . . . . 6 < Or ℝ*
2 sowlin 4057 . . . . . 6 (( < Or ℝ* ∧ (𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*)) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 400 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
433coml 1111 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
5 orcom 647 . . . 4 ((𝐶 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵))
64, 5syl6ib 150 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐶 < 𝐴 → (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
76con3d 561 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) → ¬ 𝐶 < 𝐴))
8 xrlenlt 7082 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
983adant3 924 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐵 ↔ ¬ 𝐵 < 𝐴))
10 xrlenlt 7082 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
11103adant1 922 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐵𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐵))
129, 11anbi12d 442 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵)))
13 ioran 669 . . 3 (¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵) ↔ (¬ 𝐵 < 𝐴 ∧ ¬ 𝐶 < 𝐵))
1412, 13syl6bbr 187 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) ↔ ¬ (𝐵 < 𝐴𝐶 < 𝐵)))
15 xrlenlt 7082 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
16153adant2 923 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → (𝐴𝐶 ↔ ¬ 𝐶 < 𝐴))
177, 14, 163imtr4d 192 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐶 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝐶) → 𝐴𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 97  wb 98  wo 629  w3a 885  wcel 1393   class class class wbr 3764   Or wor 4032  *cxr 7057   < clt 7058  cle 7059
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6973  ax-resscn 6974  ax-pre-ltirr 6994  ax-pre-ltwlin 6995  ax-pre-lttrn 6996
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-cnv 4353  df-pnf 7060  df-mnf 7061  df-xr 7062  df-ltxr 7063  df-le 7064
This theorem is referenced by:  xrletrd  8726  icc0r  8793  iccss  8808  icossico  8810  iccss2  8811  iccssico  8812
  Copyright terms: Public domain W3C validator