ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegcl Structured version   GIF version

Theorem xnegcl 8463
Description: Closure of extended real negative. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegcl (A * → -𝑒A *)

Proof of Theorem xnegcl
StepHypRef Expression
1 elxr 8414 . 2 (A * ↔ (A A = +∞ A = -∞))
2 rexneg 8461 . . . . 5 (A ℝ → -𝑒A = -A)
3 renegcl 7020 . . . . 5 (A ℝ → -A ℝ)
42, 3eqeltrd 2111 . . . 4 (A ℝ → -𝑒A ℝ)
54rexrd 6824 . . 3 (A ℝ → -𝑒A *)
6 xnegeq 8458 . . . 4 (A = +∞ → -𝑒A = -𝑒+∞)
7 xnegpnf 8459 . . . . 5 -𝑒+∞ = -∞
8 mnfxr 8412 . . . . 5 -∞ *
97, 8eqeltri 2107 . . . 4 -𝑒+∞ *
106, 9syl6eqel 2125 . . 3 (A = +∞ → -𝑒A *)
11 xnegeq 8458 . . . 4 (A = -∞ → -𝑒A = -𝑒-∞)
12 xnegmnf 8460 . . . . 5 -𝑒-∞ = +∞
13 pnfxr 8410 . . . . 5 +∞ *
1412, 13eqeltri 2107 . . . 4 -𝑒-∞ *
1511, 14syl6eqel 2125 . . 3 (A = -∞ → -𝑒A *)
165, 10, 153jaoi 1197 . 2 ((A A = +∞ A = -∞) → -𝑒A *)
171, 16sylbi 114 1 (A * → -𝑒A *)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   w3o 883   = wceq 1242   wcel 1390  cr 6662  +∞cpnf 6806  -∞cmnf 6807  *cxr 6808  -cneg 6932  -𝑒cxne 8404
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219  ax-cnex 6726  ax-resscn 6727  ax-1cn 6728  ax-icn 6730  ax-addcl 6731  ax-addrcl 6732  ax-mulcl 6733  ax-addcom 6735  ax-addass 6737  ax-distr 6739  ax-i2m1 6740  ax-0id 6743  ax-rnegex 6744  ax-cnre 6746
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-if 3326  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fv 4852  df-riota 5409  df-ov 5455  df-oprab 5456  df-mpt2 5457  df-pnf 6811  df-mnf 6812  df-xr 6813  df-sub 6933  df-neg 6934  df-xneg 8407
This theorem is referenced by:  xltneg  8467  xleneg  8468  xnegcld  8473
  Copyright terms: Public domain W3C validator