Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xnegneg GIF version

Theorem xnegneg 8746
 Description: Extended real version of negneg 7261. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xnegneg (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)

Proof of Theorem xnegneg
StepHypRef Expression
1 elxr 8696 . 2 (𝐴 ∈ ℝ* ↔ (𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞))
2 rexneg 8743 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒𝐴 = -𝐴)
3 xnegeq 8740 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -𝐴 → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
42, 3syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-𝐴)
5 renegcl 7272 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
6 rexneg 8743 . . . . 5 (-𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
75, 6syl 14 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝐴 = --𝐴)
8 recn 7014 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
98negnegd 7313 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → --𝐴 = 𝐴)
104, 7, 93eqtrd 2076 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
11 xnegmnf 8742 . . . 4 -𝑒-∞ = +∞
12 xnegeq 8740 . . . . . 6 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
13 xnegpnf 8741 . . . . . 6 -𝑒+∞ = -∞
1412, 13syl6eq 2088 . . . . 5 (𝐴 = +∞ → -𝑒𝐴 = -∞)
15 xnegeq 8740 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
1614, 15syl 14 . . . 4 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
17 id 19 . . . 4 (𝐴 = +∞ → 𝐴 = +∞)
1811, 16, 173eqtr4a 2098 . . 3 (𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
19 xnegeq 8740 . . . . . 6 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = -𝑒-∞)
2019, 11syl6eq 2088 . . . . 5 (𝐴 = -∞ → -𝑒𝐴 = +∞)
21 xnegeq 8740 . . . . 5 (-𝑒𝐴 = +∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
2220, 21syl 14 . . . 4 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = -𝑒+∞)
23 id 19 . . . 4 (𝐴 = -∞ → 𝐴 = -∞)
2413, 22, 233eqtr4a 2098 . . 3 (𝐴 = -∞ → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
2510, 18, 243jaoi 1198 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∨ 𝐴 = +∞ ∨ 𝐴 = -∞) → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
261, 25sylbi 114 1 (𝐴 ∈ ℝ* → -𝑒-𝑒𝐴 = 𝐴)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∨ w3o 884   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ℝcr 6888  +∞cpnf 7057  -∞cmnf 7058  ℝ*cxr 7059  -cneg 7183  -𝑒cxne 8686 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-distr 6988  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993  ax-cnre 6995 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-if 3332  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910  df-riota 5468  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-sub 7184  df-neg 7185  df-xneg 8689 This theorem is referenced by:  xneg11  8747  xltneg  8749
 Copyright terms: Public domain W3C validator