ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xleneg Structured version   GIF version

Theorem xleneg 8500
Description: Extended real version of leneg 7235. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Aug-2015.)
Assertion
Ref Expression
xleneg ((A * B *) → (AB ↔ -𝑒B ≤ -𝑒A))

Proof of Theorem xleneg
StepHypRef Expression
1 xltneg 8499 . . . 4 ((B * A *) → (B < A ↔ -𝑒A < -𝑒B))
21ancoms 255 . . 3 ((A * B *) → (B < A ↔ -𝑒A < -𝑒B))
32notbid 591 . 2 ((A * B *) → (¬ B < A ↔ ¬ -𝑒A < -𝑒B))
4 xrlenlt 6861 . 2 ((A * B *) → (AB ↔ ¬ B < A))
5 xnegcl 8495 . . 3 (B * → -𝑒B *)
6 xnegcl 8495 . . 3 (A * → -𝑒A *)
7 xrlenlt 6861 . . 3 ((-𝑒B * -𝑒A *) → (-𝑒B ≤ -𝑒A ↔ ¬ -𝑒A < -𝑒B))
85, 6, 7syl2anr 274 . 2 ((A * B *) → (-𝑒B ≤ -𝑒A ↔ ¬ -𝑒A < -𝑒B))
93, 4, 83bitr4d 209 1 ((A * B *) → (AB ↔ -𝑒B ≤ -𝑒A))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390   class class class wbr 3755  *cxr 6836   < clt 6837  cle 6838  -𝑒cxne 8436
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-1re 6757  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962  df-xneg 8439
This theorem is referenced by:  xle0neg1  8503  xle0neg2  8504
  Copyright terms: Public domain W3C validator