Theorem vtoclg 2607

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
vtoclg.2	⊢ φ

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (A ∈ 𝑉 → ψ)

Distinct variable groups:   x,A   ψ,x

Allowed substitution hints:   φ(x)   𝑉(x)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2175	. 2 ⊢ ℲxA
2		nfv 1418	. 2 ⊢ Ⅎxψ
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (x = A → (φ ↔ ψ))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ φ
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2606	1 ⊢ (A ∈ 𝑉 → ψ)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2608  ceqex  2665  mo2icl  2714  nelrdva  2740  sbctt  2818  sbcnestgf  2891  csbing  3138  prnzg  3483  sneqrg  3524  unisng  3588  csbopabg  3826  trss  3854  inex1g  3884  ssexg  3887  pwexg  3924  prexgOLD  3937  prexg  3938  opth  3965  ordelord  4084  uniexg  4141  vtoclr  4331  resieq  4565  csbima12g  4629  dmsnsnsng  4741  iota5  4830  csbiotag  4838  funmo  4860  fconstg  5026  funfveu  5131  funbrfv  5155  fnbrfvb  5157  fvelimab  5172  ssimaexg  5178  fvelrn  5241  isoselem  5402  csbriotag  5423  csbov123g  5485  ovg  5581  tfrexlem  5889  rdg0g  5915  ensn1g  6213  fundmeng  6223  xpdom2g  6242  prcdnql  6467  prcunqu  6468  prdisj  6475  bdzfauscl  9345  bdinex1g  9356  bdssexg  9359  bj-prexg  9366  bj-uniexg  9373