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Theorem tfrexlem 5886
Description: The transfinite recursion function is set-like if the input is. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrexlem.1 A = {fx On (f Fn x y x (fy) = (𝐹‘(fy)))}
tfrexlem.2 (φx(Fun 𝐹 (𝐹x) V))
Assertion
Ref Expression
tfrexlem ((φ 𝐶 𝑉) → (recs(𝐹)‘𝐶) V)
Distinct variable groups:   x,f,y,A   f,𝐹,x,y
Allowed substitution hints:   φ(x,y,f)   𝐶(x,y,f)   𝑉(x,y,f)

Proof of Theorem tfrexlem
Dummy variables 𝑒 g u v 𝑡 w z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5119 . . . . 5 (z = 𝐶 → (recs(𝐹)‘z) = (recs(𝐹)‘𝐶))
21eleq1d 2103 . . . 4 (z = 𝐶 → ((recs(𝐹)‘z) V ↔ (recs(𝐹)‘𝐶) V))
32imbi2d 219 . . 3 (z = 𝐶 → ((φ → (recs(𝐹)‘z) V) ↔ (φ → (recs(𝐹)‘𝐶) V)))
4 inss2 3152 . . . . . . 7 (suc suc z ∩ On) ⊆ On
5 ssorduni 4178 . . . . . . 7 ((suc suc z ∩ On) ⊆ On → Ord (suc suc z ∩ On))
64, 5ax-mp 7 . . . . . 6 Ord (suc suc z ∩ On)
7 vex 2554 . . . . . . . . . 10 z V
87sucex 4190 . . . . . . . . 9 suc z V
98sucex 4190 . . . . . . . 8 suc suc z V
109inex1 3881 . . . . . . 7 (suc suc z ∩ On) V
1110uniex 4139 . . . . . 6 (suc suc z ∩ On) V
12 elon2 4078 . . . . . 6 ( (suc suc z ∩ On) On ↔ (Ord (suc suc z ∩ On) (suc suc z ∩ On) V))
136, 11, 12mpbir2an 848 . . . . 5 (suc suc z ∩ On) On
14 tfrexlem.1 . . . . . . 7 A = {fx On (f Fn x y x (fy) = (𝐹‘(fy)))}
1514tfrlem3 5864 . . . . . 6 A = {vz On (v Fn z u z (vu) = (𝐹‘(vu)))}
16 tfrexlem.2 . . . . . . 7 (φx(Fun 𝐹 (𝐹x) V))
17 fveq2 5119 . . . . . . . . . 10 (x = z → (𝐹x) = (𝐹z))
1817eleq1d 2103 . . . . . . . . 9 (x = z → ((𝐹x) V ↔ (𝐹z) V))
1918anbi2d 437 . . . . . . . 8 (x = z → ((Fun 𝐹 (𝐹x) V) ↔ (Fun 𝐹 (𝐹z) V)))
2019cbvalv 1791 . . . . . . 7 (x(Fun 𝐹 (𝐹x) V) ↔ z(Fun 𝐹 (𝐹z) V))
2116, 20sylib 127 . . . . . 6 (φz(Fun 𝐹 (𝐹z) V))
2215, 21tfrlemi1 5884 . . . . 5 ((φ (suc suc z ∩ On) On) → g(g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))))
2313, 22mpan2 401 . . . 4 (φg(g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))))
2415recsfval 5869 . . . . . . . . . . 11 recs(𝐹) = A
2524breqi 3760 . . . . . . . . . 10 (zrecs(𝐹)yz Ay)
26 df-br 3755 . . . . . . . . . 10 (z Ay ↔ ⟨z, y A)
27 eluni 3573 . . . . . . . . . 10 (⟨z, y A(⟨z, y A))
2825, 26, 273bitri 195 . . . . . . . . 9 (zrecs(𝐹)y(⟨z, y A))
297sucid 4119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 z suc z
30 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((⟨z, y A) → A)
31 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 V
3214, 31tfrlem3a 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ( A𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))
3330, 32sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((⟨z, y A) → 𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))
34 simprl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((⟨z, y A) (𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))) → 𝑡 On)
35 simprrl 491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⟨z, y A) (𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))) → Fn 𝑡)
36 simpll 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (((⟨z, y A) (𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))) → ⟨z, y )
37 fnop 4943 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (( Fn 𝑡 z, y ) → z 𝑡)
3835, 36, 37syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (((⟨z, y A) (𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))) → z 𝑡)
39 onelon 4086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑡 On z 𝑡) → z On)
4034, 38, 39syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((⟨z, y A) (𝑡 On ( Fn 𝑡 𝑒 𝑡 (𝑒) = (𝐹‘(𝑒))))) → z On)
4133, 40rexlimddv 2431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((⟨z, y A) → z On)
4241adantl 262 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → z On)
43 suceloni 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (z On → suc z On)
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → suc z On)
45 suceloni 4192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (suc z On → suc suc z On)
4644, 45syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → suc suc z On)
47 onss 4184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc suc z On → suc suc z ⊆ On)
4846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → suc suc z ⊆ On)
49 df-ss 2925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc suc z ⊆ On ↔ (suc suc z ∩ On) = suc suc z)
5048, 49sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → (suc suc z ∩ On) = suc suc z)
5150unieqd 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → (suc suc z ∩ On) = suc suc z)
52 eloni 4077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc z On → Ord suc z)
53 ordtr 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (Ord suc z → Tr suc z)
5444, 52, 533syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → Tr suc z)
558unisuc 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Tr suc z suc suc z = suc z)
5654, 55sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → suc suc z = suc z)
5751, 56eqtrd 2069 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → (suc suc z ∩ On) = suc z)
5829, 57syl5eleqr 2124 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → z (suc suc z ∩ On))
59 fndm 4939 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (g Fn (suc suc z ∩ On) → dom g = (suc suc z ∩ On))
6059ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → dom g = (suc suc z ∩ On))
6158, 60eleqtrrd 2114 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → z dom g)
627eldm 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15 (z dom gx zgx)
6361, 62sylib 127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → x zgx)
64 simpr 103 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → zgx)
65 fneq2 4929 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v = (suc suc z ∩ On) → (g Fn vg Fn (suc suc z ∩ On)))
66 raleq 2499 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (v = (suc suc z ∩ On) → (w v (gw) = (𝐹‘(gw)) ↔ w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))))
6765, 66anbi12d 442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (v = (suc suc z ∩ On) → ((g Fn v w v (gw) = (𝐹‘(gw))) ↔ (g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw)))))
6867rspcev 2650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (( (suc suc z ∩ On) On (g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw)))) → v On (g Fn v w v (gw) = (𝐹‘(gw))))
6913, 68mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → v On (g Fn v w v (gw) = (𝐹‘(gw))))
70 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 g V
7114, 70tfrlem3a 5863 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (g Av On (g Fn v w v (gw) = (𝐹‘(gw))))
7269, 71sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → g A)
7372ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → g A)
74 simplrr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → A)
75 simplrl 487 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → ⟨z, y )
76 df-br 3755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (zy ↔ ⟨z, y )
7775, 76sylibr 137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → zy)
7815tfrlem5 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((g A A) → ((zgx zy) → x = y))
7978imp 115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((g A A) (zgx zy)) → x = y)
8073, 74, 64, 77, 79syl22anc 1135 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → x = y)
8164, 80breqtrd 3778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) zgx) → zgy)
8263, 81exlimddv 1775 . . . . . . . . . . . . 13 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → zgy)
83 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . 14 y V
847, 83brelrn 4509 . . . . . . . . . . . . 13 (zgyy ran g)
8582, 84syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → y ran g)
86 elssuni 3598 . . . . . . . . . . . 12 (y ran gy ran g)
8785, 86syl 14 . . . . . . . . . . 11 (((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) (⟨z, y A)) → y ran g)
8887ex 108 . . . . . . . . . 10 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → ((⟨z, y A) → y ran g))
8988exlimdv 1697 . . . . . . . . 9 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → ((⟨z, y A) → y ran g))
9028, 89syl5bi 141 . . . . . . . 8 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → (zrecs(𝐹)yy ran g))
9190alrimiv 1751 . . . . . . 7 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → y(zrecs(𝐹)yy ran g))
92 fvss 5130 . . . . . . 7 (y(zrecs(𝐹)yy ran g) → (recs(𝐹)‘z) ⊆ ran g)
9391, 92syl 14 . . . . . 6 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → (recs(𝐹)‘z) ⊆ ran g)
9470rnex 4541 . . . . . . . 8 ran g V
9594uniex 4139 . . . . . . 7 ran g V
9695ssex 3884 . . . . . 6 ((recs(𝐹)‘z) ⊆ ran g → (recs(𝐹)‘z) V)
9793, 96syl 14 . . . . 5 ((g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → (recs(𝐹)‘z) V)
9897exlimiv 1486 . . . 4 (g(g Fn (suc suc z ∩ On) w (suc suc z ∩ On)(gw) = (𝐹‘(gw))) → (recs(𝐹)‘z) V)
9923, 98syl 14 . . 3 (φ → (recs(𝐹)‘z) V)
1003, 99vtoclg 2607 . 2 (𝐶 𝑉 → (φ → (recs(𝐹)‘𝐶) V))
101100impcom 116 1 ((φ 𝐶 𝑉) → (recs(𝐹)‘𝐶) V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  wral 2300  wrex 2301  Vcvv 2551  cin 2910  wss 2911  cop 3369   cuni 3570   class class class wbr 3754  Tr wtr 3844  Ord word 4064  Oncon0 4065  suc csuc 4067  dom cdm 4287  ran crn 4288  cres 4289  Fun wfun 4838   Fn wfn 4839  cfv 4844  recscrecs 5857
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3862  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934  ax-un 4135  ax-setind 4219
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-uni 3571  df-iun 3649  df-br 3755  df-opab 3809  df-mpt 3810  df-tr 3845  df-id 4020  df-iord 4068  df-on 4070  df-suc 4073  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-rn 4298  df-res 4299  df-ima 4300  df-iota 4809  df-fun 4846  df-fn 4847  df-f 4848  df-f1 4849  df-fo 4850  df-f1o 4851  df-fv 4852  df-recs 5858
This theorem is referenced by:  tfrex  5892
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