Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0ennn Structured version   GIF version

Theorem nn0ennn 8890
 Description: The nonnegative integers are equinumerous to the positive integers. (Contributed by NM, 19-Jul-2004.)
Assertion
Ref Expression
nn0ennn 0 ≈ ℕ

Proof of Theorem nn0ennn
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0ex 7963 . 2 0 V
2 nnex 7701 . 2 V
3 nn0p1nn 7997 . 2 (x 0 → (x + 1) ℕ)
4 nnm1nn0 7999 . 2 (y ℕ → (y − 1) 0)
5 nncn 7703 . . 3 (y ℕ → y ℂ)
6 nn0cn 7967 . . 3 (x 0x ℂ)
7 ax-1cn 6776 . . . . . 6 1
8 subadd 7011 . . . . . 6 ((y 1 x ℂ) → ((y − 1) = x ↔ (1 + x) = y))
97, 8mp3an2 1219 . . . . 5 ((y x ℂ) → ((y − 1) = x ↔ (1 + x) = y))
10 eqcom 2039 . . . . 5 (x = (y − 1) ↔ (y − 1) = x)
11 eqcom 2039 . . . . 5 (y = (1 + x) ↔ (1 + x) = y)
129, 10, 113bitr4g 212 . . . 4 ((y x ℂ) → (x = (y − 1) ↔ y = (1 + x)))
13 addcom 6947 . . . . . . 7 ((1 x ℂ) → (1 + x) = (x + 1))
147, 13mpan 400 . . . . . 6 (x ℂ → (1 + x) = (x + 1))
1514eqeq2d 2048 . . . . 5 (x ℂ → (y = (1 + x) ↔ y = (x + 1)))
1615adantl 262 . . . 4 ((y x ℂ) → (y = (1 + x) ↔ y = (x + 1)))
1712, 16bitrd 177 . . 3 ((y x ℂ) → (x = (y − 1) ↔ y = (x + 1)))
185, 6, 17syl2anr 274 . 2 ((x 0 y ℕ) → (x = (y − 1) ↔ y = (x + 1)))
191, 2, 3, 4, 18en3i 6187 1 0 ≈ ℕ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455   ≈ cen 6155  ℂcc 6709  1c1 6712   + caddc 6714   − cmin 6979  ℕcn 7695  ℕ0cn0 7957 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-en 6158  df-sub 6981  df-inn 7696  df-n0 7958 This theorem is referenced by:  nnenom  8891
 Copyright terms: Public domain W3C validator