ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  leaddsub Structured version   GIF version

Theorem leaddsub 7208
Description: 'Less than or equal to' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
leaddsub ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + B) ≤ 𝐶A ≤ (𝐶B)))

Proof of Theorem leaddsub
StepHypRef Expression
1 simp1 903 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → A ℝ)
2 simp3 905 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℝ)
3 simp2 904 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℝ)
42, 3resubcld 7155 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → (𝐶B) ℝ)
5 leadd1 7200 . . 3 ((A (𝐶B) B ℝ) → (A ≤ (𝐶B) ↔ (A + B) ≤ ((𝐶B) + B)))
61, 4, 3, 5syl3anc 1134 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → (A ≤ (𝐶B) ↔ (A + B) ≤ ((𝐶B) + B)))
72recnd 6831 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → 𝐶 ℂ)
83recnd 6831 . . . 4 ((A B 𝐶 ℝ) → B ℂ)
97, 8npcand 7102 . . 3 ((A B 𝐶 ℝ) → ((𝐶B) + B) = 𝐶)
109breq2d 3767 . 2 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + B) ≤ ((𝐶B) + B) ↔ (A + B) ≤ 𝐶))
116, 10bitr2d 178 1 ((A B 𝐶 ℝ) → ((A + B) ≤ 𝐶A ≤ (𝐶B)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 98   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6690   + caddc 6694  cle 6838  cmin 6959
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6754  ax-resscn 6755  ax-1cn 6756  ax-icn 6758  ax-addcl 6759  ax-addrcl 6760  ax-mulcl 6761  ax-addcom 6763  ax-addass 6765  ax-distr 6767  ax-i2m1 6768  ax-0id 6771  ax-rnegex 6772  ax-cnre 6774  ax-pre-ltadd 6779
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6839  df-mnf 6840  df-xr 6841  df-ltxr 6842  df-le 6843  df-sub 6961  df-neg 6962
This theorem is referenced by:  leaddsub2  7209  lesub  7211  lesub2  7227  subge0  7245  eluzp1m1  8252  eluzsubi  8256  eluzsub  8258  fzen  8657  fznatpl1  8688
  Copyright terms: Public domain W3C validator