Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznatpl1 GIF version

Theorem fznatpl1 8708
 Description: Shift membership in a finite sequence of naturals. (Contributed by Scott Fenton, 17-Jul-2013.)
Assertion
Ref Expression
fznatpl1 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) (1...𝑁))

Proof of Theorem fznatpl1
StepHypRef Expression
1 1red 6840 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 1 ℝ)
2 elfzelz 8660 . . . . . 6 (𝐼 (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ℤ)
32zred 8136 . . . . 5 (𝐼 (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ℝ)
43adantl 262 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ℝ)
5 peano2re 6946 . . . 4 (𝐼 ℝ → (𝐼 + 1) ℝ)
64, 5syl 14 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ℝ)
7 peano2re 6946 . . . . 5 (1 ℝ → (1 + 1) ℝ)
81, 7syl 14 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ℝ)
91ltp1d 7677 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (1 + 1))
10 elfzle1 8661 . . . . . 6 (𝐼 (1...(𝑁 − 1)) → 1 ≤ 𝐼)
1110adantl 262 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ 𝐼)
12 1re 6824 . . . . . . 7 1
13 leadd1 7220 . . . . . . 7 ((1 𝐼 1 ℝ) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1412, 12, 13mp3an13 1222 . . . . . 6 (𝐼 ℝ → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
154, 14syl 14 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (1 ≤ 𝐼 ↔ (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1)))
1611, 15mpbid 135 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (1 + 1) ≤ (𝐼 + 1))
171, 8, 6, 9, 16ltletrd 7216 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 1 < (𝐼 + 1))
181, 6, 17ltled 6932 . 2 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 1 ≤ (𝐼 + 1))
19 elfzle2 8662 . . . 4 (𝐼 (1...(𝑁 − 1)) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
2019adantl 262 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 𝐼 ≤ (𝑁 − 1))
21 nnz 8040 . . . . . 6 (𝑁 ℕ → 𝑁 ℤ)
2221adantr 261 . . . . 5 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ℤ)
2322zred 8136 . . . 4 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → 𝑁 ℝ)
24 leaddsub 7228 . . . . 5 ((𝐼 1 𝑁 ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2512, 24mp3an2 1219 . . . 4 ((𝐼 𝑁 ℝ) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
264, 23, 25syl2anc 391 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) ≤ 𝑁𝐼 ≤ (𝑁 − 1)))
2720, 26mpbird 156 . 2 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)
282peano2zd 8139 . . . 4 (𝐼 (1...(𝑁 − 1)) → (𝐼 + 1) ℤ)
2928adantl 262 . . 3 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) ℤ)
30 1z 8047 . . . 4 1
31 elfz 8650 . . . 4 (((𝐼 + 1) 1 𝑁 ℤ) → ((𝐼 + 1) (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3230, 31mp3an2 1219 . . 3 (((𝐼 + 1) 𝑁 ℤ) → ((𝐼 + 1) (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3329, 22, 32syl2anc 391 . 2 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → ((𝐼 + 1) (1...𝑁) ↔ (1 ≤ (𝐼 + 1) (𝐼 + 1) ≤ 𝑁)))
3418, 27, 33mpbir2and 850 1 ((𝑁 𝐼 (1...(𝑁 − 1))) → (𝐼 + 1) (1...𝑁))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  ℝcr 6710  1c1 6712   + caddc 6714   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℕcn 7695  ℤcz 8021  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-fz 8645 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator