Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzen GIF version

Theorem fzen 8677
 Description: A shifted finite set of sequential integers is equinumerous to the original set. (Contributed by Paul Chapman, 11-Apr-2009.)
Assertion
Ref Expression
fzen ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))

Proof of Theorem fzen
Dummy variables 𝑘 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzf 8648 . . . . 5 ...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ
2 ffn 4989 . . . . 5 (...:(ℤ × ℤ)⟶𝒫 ℤ → ... Fn (ℤ × ℤ))
31, 2ax-mp 7 . . . 4 ... Fn (ℤ × ℤ)
4 fnovex 5481 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) 𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...𝑁) V)
53, 4mp3an1 1218 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...𝑁) V)
653adant3 923 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀...𝑁) V)
7 simp1 903 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → 𝑀 ℤ)
8 simp3 905 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → 𝐾 ℤ)
97, 8zaddcld 8140 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ℤ)
10 simp2 904 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → 𝑁 ℤ)
1110, 8zaddcld 8140 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ℤ)
12 fnovex 5481 . . . 4 ((... Fn (ℤ × ℤ) (𝑀 + 𝐾) (𝑁 + 𝐾) ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) V)
133, 12mp3an1 1218 . . 3 (((𝑀 + 𝐾) (𝑁 + 𝐾) ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) V)
149, 11, 13syl2anc 391 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) V)
15 elfz1 8649 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) ↔ (𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
1615biimpd 132 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) → (𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
17163adant3 923 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) → (𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁)))
18 zaddcl 8061 . . . . . . . . . . 11 ((𝑘 𝐾 ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ℤ)
1918expcom 109 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ℤ → (𝑘 ℤ → (𝑘 + 𝐾) ℤ))
20193ad2ant3 926 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ℤ → (𝑘 + 𝐾) ℤ))
2120adantrd 264 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ℤ))
22 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
23 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 ℤ → 𝑘 ℝ)
24 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℝ)
25 leadd1 7220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑀 𝑘 𝐾 ℝ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2622, 23, 24, 25syl3an 1176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝑘 𝐾 ℤ) → (𝑀𝑘 ↔ (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2726biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝑘 𝐾 ℤ) → (𝑀𝑘 → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
2827adantrd 264 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝑘 𝐾 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
29283com23 1109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝐾 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
30293expia 1105 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝐾 ℤ) → (𝑘 ℤ → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾))))
3130impd 242 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
32313adant2 922 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾)))
33 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
34 leadd1 7220 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑘 𝑁 𝐾 ℝ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3523, 33, 24, 34syl3an 1176 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑘 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘𝑁 ↔ (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3635biimpd 132 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑘 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘𝑁 → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
3736adantld 263 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑘 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
38373coml 1110 . . . . . . . . . . 11 ((𝑁 𝐾 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
39383expia 1105 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 ℤ → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4039impd 242 . . . . . . . . 9 ((𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
41403adant1 921 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)))
4221, 32, 413jcad 1084 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → ((𝑘 + 𝐾) (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
43 zaddcl 8061 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝐾 ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ℤ)
44433adant2 922 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀 + 𝐾) ℤ)
45 zaddcl 8061 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ℤ)
46453adant1 921 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑁 + 𝐾) ℤ)
47 elfz1 8649 . . . . . . . . 9 (((𝑀 + 𝐾) (𝑁 + 𝐾) ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4844, 46, 47syl2anc 391 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ ((𝑘 + 𝐾) (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾))))
4948biimprd 147 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (((𝑘 + 𝐾) (𝑀 + 𝐾) ≤ (𝑘 + 𝐾) (𝑘 + 𝐾) ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5042, 49syld 40 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5150com12 27 . . . . 5 ((𝑘 (𝑀𝑘 𝑘𝑁)) → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
52513impb 1099 . . . 4 ((𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁) → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5352com12 27 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
5417, 53syld 40 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) → (𝑘 + 𝐾) ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))))
55 elfz1 8649 . . . . 5 (((𝑀 + 𝐾) (𝑁 + 𝐾) ℤ) → (𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5644, 46, 55syl2anc 391 . . . 4 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) ↔ (𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
5756biimpd 132 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))))
58 zsubcl 8062 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 𝐾 ℤ) → (𝑚𝐾) ℤ)
5958expcom 109 . . . . . . . . . 10 (𝐾 ℤ → (𝑚 ℤ → (𝑚𝐾) ℤ))
60593ad2ant3 926 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚 ℤ → (𝑚𝐾) ℤ))
6160adantrd 264 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ℤ))
62 zre 8025 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 ℤ → 𝑚 ℝ)
63 leaddsub 7228 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 𝐾 𝑚 ℝ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6422, 24, 62, 63syl3an 1176 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑀 𝐾 𝑚 ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6564biimpd 132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑀 𝐾 𝑚 ℤ) → ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
6665adantrd 264 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝐾 𝑚 ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
67663expia 1105 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝐾 ℤ) → (𝑚 ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾))))
6867impd 242 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
69683adant2 922 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → 𝑀 ≤ (𝑚𝐾)))
70 lesubadd 7224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑚 𝐾 𝑁 ℝ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7162, 24, 33, 70syl3an 1176 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑚 𝐾 𝑁 ℤ) → ((𝑚𝐾) ≤ 𝑁𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
7271biimprd 147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑚 𝐾 𝑁 ℤ) → (𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7372adantld 263 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 𝐾 𝑁 ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
74733coml 1110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐾 𝑁 𝑚 ℤ) → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
75743expia 1105 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 𝑁 ℤ) → (𝑚 ℤ → (((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
7675impd 242 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑁 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7776ancoms 255 . . . . . . . . 9 ((𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
78773adant1 921 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) ≤ 𝑁))
7961, 69, 783jcad 1084 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑚𝐾) 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
80 elfz1 8649 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝑚𝐾) (𝑀...𝑁) ↔ ((𝑚𝐾) 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) (𝑚𝐾) ≤ 𝑁)))
8180biimprd 147 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (((𝑚𝐾) 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
82813adant3 923 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (((𝑚𝐾) 𝑀 ≤ (𝑚𝐾) (𝑚𝐾) ≤ 𝑁) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
8379, 82syld 40 . . . . . 6 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
8483com12 27 . . . . 5 ((𝑚 ((𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾))) → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
85843impb 1099 . . . 4 ((𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
8685com12 27 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
8757, 86syld 40 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → (𝑚𝐾) (𝑀...𝑁)))
8817imp 115 . . . . 5 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑘 (𝑀...𝑁)) → (𝑘 𝑀𝑘 𝑘𝑁))
8988simp1d 915 . . . 4 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑘 (𝑀...𝑁)) → 𝑘 ℤ)
9089ex 108 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑘 (𝑀...𝑁) → 𝑘 ℤ))
9157imp 115 . . . . 5 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑚 (𝑀 + 𝐾) ≤ 𝑚 𝑚 ≤ (𝑁 + 𝐾)))
9291simp1d 915 . . . 4 (((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) 𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → 𝑚 ℤ)
9392ex 108 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)) → 𝑚 ℤ))
94 zcn 8026 . . . . . . 7 (𝑚 ℤ → 𝑚 ℂ)
95 zcn 8026 . . . . . . 7 (𝐾 ℤ → 𝐾 ℂ)
96 zcn 8026 . . . . . . 7 (𝑘 ℤ → 𝑘 ℂ)
97 subadd 7011 . . . . . . . . 9 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℂ) → ((𝑚𝐾) = 𝑘 ↔ (𝐾 + 𝑘) = 𝑚))
98 eqcom 2039 . . . . . . . . 9 ((𝑚𝐾) = 𝑘𝑘 = (𝑚𝐾))
99 eqcom 2039 . . . . . . . . 9 ((𝐾 + 𝑘) = 𝑚𝑚 = (𝐾 + 𝑘))
10097, 98, 993bitr3g 211 . . . . . . . 8 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝐾 + 𝑘)))
101 addcom 6947 . . . . . . . . . 10 ((𝐾 𝑘 ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
1021013adant1 921 . . . . . . . . 9 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℂ) → (𝐾 + 𝑘) = (𝑘 + 𝐾))
103102eqeq2d 2048 . . . . . . . 8 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℂ) → (𝑚 = (𝐾 + 𝑘) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
104100, 103bitrd 177 . . . . . . 7 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℂ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
10594, 95, 96, 104syl3an 1176 . . . . . 6 ((𝑚 𝐾 𝑘 ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1061053coml 1110 . . . . 5 ((𝐾 𝑘 𝑚 ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾)))
1071063expib 1106 . . . 4 (𝐾 ℤ → ((𝑘 𝑚 ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1081073ad2ant3 926 . . 3 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 𝑚 ℤ) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
10990, 93, 108syl2and 279 . 2 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → ((𝑘 (𝑀...𝑁) 𝑚 ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾))) → (𝑘 = (𝑚𝐾) ↔ 𝑚 = (𝑘 + 𝐾))))
1106, 14, 54, 87, 109en3d 6185 1 ((𝑀 𝑁 𝐾 ℤ) → (𝑀...𝑁) ≈ ((𝑀 + 𝐾)...(𝑁 + 𝐾)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  𝒫 cpw 3351   class class class wbr 3755   × cxp 4286   Fn wfn 4840  ⟶wf 4841  (class class class)co 5455   ≈ cen 6155  ℂcc 6709  ℝcr 6710   + caddc 6714   ≤ cle 6858   − cmin 6979  ℤcz 8021  ...cfz 8644 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-ltadd 6799 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-en 6158  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-fz 8645 This theorem is referenced by:  fz01en  8687  frecfzen2  8885
 Copyright terms: Public domain W3C validator