ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpcomco Structured version   Unicode version

Theorem xpcomco 6236
Description: Composition with the bijection of xpcomf1o 6235 swaps the arguments to a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
xpcomf1o.1  F  X. 
|->  U. `' { }
xpcomco.1  G  ,  |->  C
Assertion
Ref Expression
xpcomco  G  o.  F  ,  |->  C
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , F,
Allowed substitution hints:    C(,,)    F()    G(,,)

Proof of Theorem xpcomco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 xpcomf1o.1 . . . . . . . . . 10  F  X. 
|->  U. `' { }
21xpcomf1o 6235 . . . . . . . . 9  F :  X. 
-1-1-onto->  X.
3 f1ofun 5071 . . . . . . . . 9  F :  X.  -1-1-onto->  X.  Fun  F
4 funbrfv2b 5161 . . . . . . . . 9  Fun 
F  F  dom  F  F `
52, 3, 4mp2b 8 . . . . . . . 8  F  dom  F  F `
6 ancom 253 . . . . . . . 8  dom  F  F `  F `  dom  F
7 eqcom 2039 . . . . . . . . 9  F `  F `
8 f1odm 5073 . . . . . . . . . . 11  F :  X.  -1-1-onto->  X.  dom  F  X.
92, 8ax-mp 7 . . . . . . . . . 10  dom  F  X.
109eleq2i 2101 . . . . . . . . 9  dom  F  X.
117, 10anbi12i 433 . . . . . . . 8  F `  dom  F  F `  X.
125, 6, 113bitri 195 . . . . . . 7  F  F `  X.
1312anbi1i 431 . . . . . 6  F  G  F `
 X.  G
14 anass 381 . . . . . 6  F `  X.  G  F `  X.  G
1513, 14bitri 173 . . . . 5  F  G  F `  X.  G
1615exbii 1493 . . . 4  F  G  F `  X.  G
17 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
181mptfvex 5199 . . . . . . 7  U. `' { }  _V  _V  F `  _V
1917, 18mpan2 401 . . . . . 6  U. `' { }  _V  F `  _V
20 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
2120snex 3928 . . . . . . . 8  { }  _V
2221cnvex 4799 . . . . . . 7  `' { }  _V
2322uniex 4140 . . . . . 6  U. `' { }  _V
2419, 23mpg 1337 . . . . 5  F `

_V
25 breq1 3758 . . . . . 6  F `  G  F `
 G
2625anbi2d 437 . . . . 5  F `  X.  G  X.  F `  G
2724, 26ceqsexv 2587 . . . 4  F `  X.  G  X.  F `  G
28 elxp 4305 . . . . . 6  X. 
<. ,  >.
2928anbi1i 431 . . . . 5  X.  F `  G  <. , 
>.  F `  G
30 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_ F `
31 xpcomco.1 . . . . . . . 8  G  ,  |->  C
32 nfmpt22 5514 . . . . . . . 8  F/_  ,  |->  C
3331, 32nfcxfr 2172 . . . . . . 7  F/_ G
34 nfcv 2175 . . . . . . 7  F/_
3530, 33, 34nfbr 3799 . . . . . 6  F/ F `  G
363519.41 1573 . . . . 5  <. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  F `  G
37 nfcv 2175 . . . . . . . . 9  F/_ F `
38 nfmpt21 5513 . . . . . . . . . 10  F/_  ,  |->  C
3931, 38nfcxfr 2172 . . . . . . . . 9  F/_ G
40 nfcv 2175 . . . . . . . . 9  F/_
4137, 39, 40nfbr 3799 . . . . . . . 8  F/ F `  G
424119.41 1573 . . . . . . 7 
<. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  F `  G
43 anass 381 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  F `  G
44 fveq2 5121 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>.  F `  F `  <. ,  >.
45 opelxpi 4319 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. , 
>.  X.
46 sneq 3378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. , 
>.  { }  { <. , 
>. }
4746cnveqd 4454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. , 
>.  `' { }  `' { <. ,  >. }
4847unieqd 3582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. , 
>.  U. `' { }  U. `' { <. , 
>. }
49 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
_V
50 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
_V
51 opswapg 4750 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  _V  _V  U. `' { <. ,  >. }  <. ,  >.
5249, 50, 51mp2an 402 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  U. `' { <. , 
>. }  <. ,  >.
5348, 52syl6eq 2085 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. , 
>.  U. `' { }  <. ,  >.
5450, 49opex 3957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >.  _V
5553, 1, 54fvmpt 5192 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >.  X.  F `  <. ,  >.  <. , 
>.
5645, 55syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  F `  <. ,  >.  <. , 
>.
5744, 56sylan9eq 2089 . . . . . . . . . . . . 13  <. ,  >.  F `  <. ,  >.
5857breq1d 3765 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  F `
 G  <. , 
>. G
59 df-br 3756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. ,  >. G 
<. <. , 
>. ,  >.  G
60 df-mpt2 5460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  ,  |->  C  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }
6131, 60eqtri 2057 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  G  { <. <. , 
>. ,  >.  |  C }
6261eleq2i 2101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. <. ,  >. ,  >.  G  <. <. , 
>. ,  >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  C }
63 oprabid 5480 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }  C
6459, 62, 633bitri 195 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. ,  >. G  C
6564baib 827 . . . . . . . . . . . . . 14  <. , 
>. G  C
6665ancoms 255 . . . . . . . . . . . . 13  <. , 
>. G  C
6766adantl 262 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  <. ,  >. G  C
6858, 67bitrd 177 . . . . . . . . . . 11  <. ,  >.  F `
 G  C
6968pm5.32da 425 . . . . . . . . . 10  <. , 
>.  F `  G  C
7069pm5.32i 427 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  F `  G 
<. ,  >.  C
7143, 70bitri 173 . . . . . . . 8  <. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  C
7271exbii 1493 . . . . . . 7 
<. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  C
7342, 72bitr3i 175 . . . . . 6 
<. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  C
7473exbii 1493 . . . . 5  <. ,  >.  F `  G  <. ,  >.  C
7529, 36, 743bitr2i 197 . . . 4  X.  F `  G 
<. ,  >.  C
7616, 27, 753bitri 195 . . 3  F  G  <. ,  >.  C
7776opabbii 3815 . 2  { <. ,  >.  |  F  G }  { <. ,  >.  |  <. , 
>.  C }
78 df-co 4297 . 2  G  o.  F  { <. , 
>.  |  F  G }
79 df-mpt2 5460 . . 3  ,  |->  C  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }
80 dfoprab2 5494 . . 3  { <. <. ,  >. ,  >.  |  C }  { <. ,  >.  |  <. ,  >.  C }
8179, 80eqtri 2057 . 2  ,  |->  C  { <. ,  >.  |  <. , 
>.  C }
8277, 78, 813eqtr4i 2067 1  G  o.  F  ,  |->  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755   {copab 3808    |-> cmpt 3809    X. cxp 4286   `'ccnv 4287   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Fun wfun 4839   -1-1-onto->wf1o 4844   ` cfv 4845   {coprab 5456    |-> cmpt2 5457
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator