ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabid Unicode version

Theorem oprabid 5480
Description: The law of concretion. Special case of Theorem 9.5 of [Quine] p. 61. Although this theorem would be useful with a distinct variable constraint between , , and , we use ax-bndl 1396 to eliminate that constraint. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
oprabid  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }

Proof of Theorem oprabid
Dummy variables  a  r  s  t are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 vex 2554 . . . 4 
_V
2 vex 2554 . . . 4 
_V
31, 2opex 3957 . . 3  <. ,  >.  _V
4 vex 2554 . . 3 
_V
5 opexg 3955 . . 3 
<. ,  >. 
_V  _V  <. <. ,  >. ,  >. 
_V
63, 4, 5mp2an 402 . 2  <. <. ,  >. ,  >. 
_V
73, 4eqvinop 3971 . . . . 5  <. <. , 
>. ,  >.  a t  <. a ,  t >.  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.
87biimpi 113 . . . 4  <. <. , 
>. ,  >.  a t  <. a ,  t >.  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.
9 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. a ,  t
>. 
<. <. , 
>. ,  >.  <.
a ,  t >.  <. <. , 
>. ,  >.
10 vex 2554 . . . . . . . . 9  a 
_V
11 vex 2554 . . . . . . . . 9  t 
_V
1210, 11opth1 3964 . . . . . . . 8  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  a  <. , 
>.
139, 12syl6bi 152 . . . . . . 7  <. a ,  t
>. 
<. <. , 
>. ,  >.  a  <. ,  >.
141, 2eqvinop 3971 . . . . . . . . 9  a  <. , 
>.  r s a  <. r ,  s >.  <. r ,  s >.  <. ,  >.
15 opeq1 3540 . . . . . . . . . . . . 13  a  <. r ,  s
>.  <. a ,  t
>.  <. <. r ,  s >. ,  t
>.
1615eqeq2d 2048 . . . . . . . . . . . 12  a  <. r ,  s
>. 
<. a ,  t >.  <. <. r ,  s >. ,  t
>.
171, 2, 4otth2 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  <. <. ,  >. ,  >.  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  r  s  t
18 df-3an 886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  r  s  t  r  s  t
1917, 18bitri 173 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  <. <. ,  >. ,  >.  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  r  s  t
2019anbi1i 431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 
<. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.  r  s  t
21 anass 381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
22 anass 381 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
2320, 21, 223bitri 195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
<. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.  r  s  t
24233exbii 1495 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.  r  s  t
25 oprabidlem 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  s  t  r  s  t
2625eximi 1488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
27 excom 1551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
28 excom 1551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
2926, 27, 283imtr4i 190 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  s  t  r  s  t
30 oprabidlem 5479 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  s  t  r  s  t
31 oprabidlem 5479 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  s  t  s  t
3231anim2i 324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
3332eximi 1488 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  s  t  r  s  t
3429, 30, 333syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  s  t  r  s  t
3524, 34sylbi 114 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.  r  s  t
36 euequ1 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  r
37 eupick 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  r  r  s  t  r  s  t
3836, 37mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  r  s  t  r  s  t
39 euequ1 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  s
40 eupick 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  s  s  t  s  t
4139, 40mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  s  t  s  t
42 euequ1 1992 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  t
43 eupick 1976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  t  t  t
4442, 43mpan 400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  t  t
4541, 44syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  s  t  s  t
4638, 45syl6 29 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  r  s  t  r  s  t
47463impd 1117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  r  s  t  r  s  t
4817, 47syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . . . 15  r  s  t  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
4948com12 27 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. ,  >. ,  >.  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  r  s  t
5035, 49syl5 28 . . . . . . . . . . . . 13  <. <. ,  >. ,  >.  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
51 eqeq1 2043 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. r ,  s >. ,  t
>.  <. <. ,  >. ,  >.
52 eqcom 2039 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
5351, 52syl6bb 185 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
5453anbi1d 438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
55543exbidv 1746 . . . . . . . . . . . . . . 15  <. <. r ,  s
>. ,  t >. 
<. <. , 
>. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
5655imbi1d 220 . . . . . . . . . . . . . 14  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
5753, 56imbi12d 223 . . . . . . . . . . . . 13  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <.
r ,  s >. ,  t >.  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. r ,  s
>. ,  t >.
5850, 57mpbiri 157 . . . . . . . . . . . 12  <. <. r ,  s
>. ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
5916, 58syl6bi 152 . . . . . . . . . . 11  a  <. r ,  s
>. 
<. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
6059adantr 261 . . . . . . . . . 10  a  <. r ,  s >.  <. r ,  s >.  <. ,  >.  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
6160exlimivv 1773 . . . . . . . . 9  r s a  <. r ,  s
>.  <. r ,  s
>.  <. ,  >.  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
6214, 61sylbi 114 . . . . . . . 8  a  <. , 
>. 
<. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
6362com3l 75 . . . . . . 7  <. a ,  t
>. 
<. <. , 
>. ,  >.  a  <. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
6413, 63mpdd 36 . . . . . 6  <. a ,  t
>. 
<. <. , 
>. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
6564adantr 261 . . . . 5  <. a ,  t >.  <. a ,  t >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
6665exlimivv 1773 . . . 4  a t  <. a ,  t
>.  <. a ,  t
>.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
678, 66mpcom 32 . . 3  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
68 19.8a 1479 . . . . 5  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
69 19.8a 1479 . . . . 5  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
70 19.8a 1479 . . . . 5  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
7168, 69, 703syl 17 . . . 4  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
7271ex 108 . . 3  <. <. , 
>. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >.
7367, 72impbid 120 . 2  <. <. , 
>. ,  >. 
<. <. , 
>. ,  >.
74 df-oprab 5459 . 2  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  {  |  <. <. ,  >. ,  >.  }
756, 73, 74elab2 2684 1  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  weu 1897   _Vcvv 2551   <.cop 3370   {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  ssoprab2b  5504  ovid  5559  ovidig  5560  tposoprab  5836  xpcomco  6236
  Copyright terms: Public domain W3C validator