Theorem opth1 3964

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> A = C)

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	sneqr 3522	. . 3 |- ( {A } = { C } -> A = C)
3	2	a1i 9	. 2 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> ( {A } = { C } -> A = C))
4		opth1.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
5	1, 4	opi1 3960	. . . . . . . 8 |- {A } e. <.A , B >.
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> <.A , B >. = <. C , D >.)
7	5, 6	syl5eleq 2123	. . . . . . 7 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> {A } e. <. C , D >.)
8		oprcl 3564	. . . . . . 7 |- ( {A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V))
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V))
10	9	simpld 105	. . . . 5 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> C e. _V)
11		prid1g 3465	. . . . 5 |- ( C e. _V -> C e. { C , D })
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> C e. { C , D })
13		eleq2 2098	. . . 4 |- ( {A } = { C , D } -> ( C e. {A } <-> C e. { C , D }))
14	12, 13	syl5ibrcom 146	. . 3 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> ( {A } = { C , D } -> C e. {A }))
15		elsni 3391	. . . 4 |- ( C e. {A } -> C = A)
16	15	eqcomd 2042	. . 3 |- ( C e. {A } -> A = C)
17	14, 16	syl6 29	. 2 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> ( {A } = { C , D } -> A = C))
18		dfopg 3538	. . . . 5 |- (( C e. _V /\ D e. _V) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } })
19	7, 8, 18	3syl 17	. . . 4 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } })
20	7, 19	eleqtrd 2113	. . 3 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> {A } e. { { C } , { C , D } })
21		elpri 3387	. . 3 |- ( {A } e. { { C } , { C , D } } -> ( {A } = { C } \/ {A } = { C , D }))
22	20, 21	syl 14	. 2 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> ( {A } = { C } \/ {A } = { C , D }))
23	3, 17, 22	mpjaod 637	1 |- ( <.A , B >. = <. C , D >. -> A = C)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376

This theorem is referenced by:  opth  3965  dmsnopg  4735  funcnvsn  4888  oprabid  5480