Theorem opth1 3973

Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
opth1.1	|- A e. _V
opth1.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
opth1	|- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Proof of Theorem opth1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opth1.1	. . . 4 |- A e. _V
2	1	sneqr 3531	. . 3 |- ( { A } = { C } -> A = C )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } -> A = C ) )
4		opth1.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
5	1, 4	opi1 3969	. . . . . . . 8 |- { A } e. <. A , B >.
6		id 19	. . . . . . . 8 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. A , B >. = <. C , D >. )
7	5, 6	syl5eleq 2126	. . . . . . 7 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. <. C , D >. )
8		oprcl 3573	. . . . . . 7 |- ( { A } e. <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
9	7, 8	syl 14	. . . . . 6 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( C e. _V /\ D e. _V ) )
10	9	simpld 105	. . . . 5 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. _V )
11		prid1g 3474	. . . . 5 |- ( C e. _V -> C e. { C , D } )
12	10, 11	syl 14	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> C e. { C , D } )
13		eleq2 2101	. . . 4 |- ( { A } = { C , D } -> ( C e. { A } <-> C e. { C , D } ) )
14	12, 13	syl5ibrcom 146	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> C e. { A } ) )
15		elsni 3393	. . . 4 |- ( C e. { A } -> C = A )
16	15	eqcomd 2045	. . 3 |- ( C e. { A } -> A = C )
17	14, 16	syl6 29	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C , D } -> A = C ) )
18		dfopg 3547	. . . . 5 |- ( ( C e. _V /\ D e. _V ) -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
19	7, 8, 18	3syl 17	. . . 4 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> <. C , D >. = { { C } , { C , D } } )
20	7, 19	eleqtrd 2116	. . 3 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> { A } e. { { C } , { C , D } } )
21		elpri 3398	. . 3 |- ( { A } e. { { C } , { C , D } } -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
22	20, 21	syl 14	. 2 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> ( { A } = { C } \/ { A } = { C , D } ) )
23	3, 17, 22	mpjaod 638	1 |- ( <. A , B >. = <. C , D >. -> A = C )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   {csn 3375   {cpr 3376   <.cop 3378

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384

This theorem is referenced by:  opth  3974  dmsnopg  4792  funcnvsn  4945  oprabid  5537