ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  opth1 Unicode version

Theorem opth1 3964
Description: Equality of the first members of equal ordered pairs. (Contributed by NM, 28-May-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
opth1.1  _V
opth1.2  _V
Assertion
Ref Expression
opth1  <. ,  >.  <. C ,  D >.  C

Proof of Theorem opth1
StepHypRef Expression
1 opth1.1 . . . 4  _V
21sneqr 3522 . . 3  { }  { C }  C
32a1i 9 . 2  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  { C }  C
4 opth1.2 . . . . . . . . 9  _V
51, 4opi1 3960 . . . . . . . 8  { }  <. ,  >.
6 id 19 . . . . . . . 8  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.
75, 6syl5eleq 2123 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  <. C ,  D >.
8 oprcl 3564 . . . . . . 7  { }  <. C ,  D >.  C  _V  D 
_V
97, 8syl 14 . . . . . 6  <. ,  >.  <. C ,  D >.  C  _V  D  _V
109simpld 105 . . . . 5  <. ,  >.  <. C ,  D >.  C  _V
11 prid1g 3465 . . . . 5  C  _V  C  { C ,  D }
1210, 11syl 14 . . . 4  <. ,  >.  <. C ,  D >.  C  { C ,  D }
13 eleq2 2098 . . . 4  { }  { C ,  D }  C  { }  C  { C ,  D }
1412, 13syl5ibrcom 146 . . 3  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  { C ,  D }  C  { }
15 elsni 3391 . . . 4  C  { }  C
1615eqcomd 2042 . . 3  C  { }  C
1714, 16syl6 29 . 2  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  { C ,  D }  C
18 dfopg 3538 . . . . 5  C  _V  D  _V  <. C ,  D >.  { { C } ,  { C ,  D } }
197, 8, 183syl 17 . . . 4  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. C ,  D >.  { { C } ,  { C ,  D } }
207, 19eleqtrd 2113 . . 3  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  { { C } ,  { C ,  D } }
21 elpri 3387 . . 3  { }  { { C } ,  { C ,  D } }  { }  { C }  { }  { C ,  D }
2220, 21syl 14 . 2  <. ,  >.  <. C ,  D >.  { }  { C }  { }  { C ,  D }
233, 17, 22mpjaod 637 1  <. ,  >.  <. C ,  D >.  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   {csn 3367   {cpr 3368   <.cop 3370
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376
This theorem is referenced by:  opth  3965  dmsnopg  4735  funcnvsn  4888  oprabid  5480
  Copyright terms: Public domain W3C validator