ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposoprab Unicode version

Theorem tposoprab 5840
Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tposoprab.1  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
Assertion
Ref Expression
tposoprab tpos  F  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)    F(,,)

Proof of Theorem tposoprab
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tposoprab.1 . . 3  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
21tposeqi 5837 . 2 tpos  F tpos  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
3 reldmoprab 5534 . . 3  Rel  dom  {
<. <. , 
>. ,  >.  |  }
4 dftpos3 5822 . . 3  Rel 
dom  { <. <. , 
>. ,  >.  |  } tpos  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }
53, 4ax-mp 7 . 2 tpos  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  | 
<. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c }
6 nfcv 2178 . . . . 5  F/_ <. b ,  a >.
7 nfoprab2 5500 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
8 nfcv 2178 . . . . 5  F/_
c
96, 7, 8nfbr 3802 . . . 4  F/
<. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c
10 nfcv 2178 . . . . 5  F/_ <. b ,  a >.
11 nfoprab1 5499 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
12 nfcv 2178 . . . . 5  F/_ c
1310, 11, 12nfbr 3802 . . . 4  F/ <. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c
14 nfv 1421 . . . 4  F/ a
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
15 nfv 1421 . . . 4  F/ b
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
16 opeq12 3545 . . . . . 6  b  a  <. b ,  a
>.  <. ,  >.
1716ancoms 255 . . . . 5  a  b  <. b ,  a
>.  <. ,  >.
1817breq1d 3768 . . . 4  a  b  <. b ,  a
>. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  } c
199, 13, 14, 15, 18cbvoprab12 5523 . . 3  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  c >.  |  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }
20 nfcv 2178 . . . . 5  F/_ <. ,  >.
21 nfoprab3 5501 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
22 nfcv 2178 . . . . 5  F/_
c
2320, 21, 22nfbr 3802 . . . 4  F/
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
24 nfv 1421 . . . 4  F/ c
25 breq2 3762 . . . . 5  c  <. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
26 df-br 3759 . . . . . 6  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  } 
<. <. , 
>. ,  >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  }
27 oprabid 5483 . . . . . 6  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
2826, 27bitri 173 . . . . 5  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
2925, 28syl6bb 185 . . . 4  c  <. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
3023, 24, 29cbvoprab3 5525 . . 3  { <. <. ,  >. ,  c >.  |  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
3119, 30eqtri 2060 . 2  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
322, 5, 313eqtri 2064 1 tpos  F  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1243   wcel 1393   <.cop 3373   class class class wbr 3758   dom cdm 4291   Rel wrel 4296   {coprab 5459  tpos ctpos 5804
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3869  ax-nul 3877  ax-pow 3921  ax-pr 3938  ax-un 4139  ax-setind 4223
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3356  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-br 3759  df-opab 3813  df-mpt 3814  df-id 4024  df-xp 4297  df-rel 4298  df-cnv 4299  df-co 4300  df-dm 4301  df-rn 4302  df-res 4303  df-ima 4304  df-iota 4813  df-fun 4850  df-fn 4851  df-fv 4856  df-oprab 5462  df-tpos 5805
This theorem is referenced by:  tposmpt2  5841
  Copyright terms: Public domain W3C validator