ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tposoprab Structured version   Unicode version

Theorem tposoprab 5836
Description: Transposition of a class of ordered triples. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
tposoprab.1  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
Assertion
Ref Expression
tposoprab tpos  F  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
Distinct variable group:   ,,
Allowed substitution hints:   (,,)    F(,,)

Proof of Theorem tposoprab
Dummy variables  a  b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tposoprab.1 . . 3  F  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
21tposeqi 5833 . 2 tpos  F tpos  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
3 reldmoprab 5531 . . 3  Rel  dom  {
<. <. , 
>. ,  >.  |  }
4 dftpos3 5818 . . 3  Rel 
dom  { <. <. , 
>. ,  >.  |  } tpos  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }
53, 4ax-mp 7 . 2 tpos  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  { <. <. a ,  b
>. ,  c >.  | 
<. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c }
6 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ <. b ,  a >.
7 nfoprab2 5497 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
8 nfcv 2175 . . . . 5  F/_
c
96, 7, 8nfbr 3799 . . . 4  F/
<. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c
10 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ <. b ,  a >.
11 nfoprab1 5496 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
12 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ c
1310, 11, 12nfbr 3799 . . . 4  F/ <. b ,  a >. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c
14 nfv 1418 . . . 4  F/ a
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
15 nfv 1418 . . . 4  F/ b
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
16 opeq12 3542 . . . . . 6  b  a  <. b ,  a
>.  <. ,  >.
1716ancoms 255 . . . . 5  a  b  <. b ,  a
>.  <. ,  >.
1817breq1d 3765 . . . 4  a  b  <. b ,  a
>. { <. <. , 
>. ,  >.  |  } c  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  } c
199, 13, 14, 15, 18cbvoprab12 5520 . . 3  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  c >.  |  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }
20 nfcv 2175 . . . . 5  F/_ <. ,  >.
21 nfoprab3 5498 . . . . 5  F/_ { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
22 nfcv 2175 . . . . 5  F/_
c
2320, 21, 22nfbr 3799 . . . 4  F/
<. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
24 nfv 1418 . . . 4  F/ c
25 breq2 3759 . . . . 5  c  <. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
26 df-br 3756 . . . . . 6  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  } 
<. <. , 
>. ,  >. 
{ <. <. , 
>. ,  >.  |  }
27 oprabid 5480 . . . . . 6  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
2826, 27bitri 173 . . . . 5  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
2925, 28syl6bb 185 . . . 4  c  <. ,  >. {
<. <. , 
>. ,  >.  |  } c
3023, 24, 29cbvoprab3 5522 . . 3  { <. <. ,  >. ,  c >.  |  <. ,  >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
3119, 30eqtri 2057 . 2  { <. <.
a ,  b >. ,  c >.  |  <. b ,  a >. { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
c }  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
322, 5, 313eqtri 2061 1 tpos  F  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wceq 1242   wcel 1390   <.cop 3370   class class class wbr 3755   dom cdm 4288   Rel wrel 4293   {coprab 5456  tpos ctpos 5800
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-oprab 5459  df-tpos 5801
This theorem is referenced by:  tposmpt2  5837
  Copyright terms: Public domain W3C validator