Theorem tposmpt2 5896

Description: Transposition of a two-argument mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
tposmpt2.1	|- F = ( x e. A , y e. B |-> C )

Assertion

Ref	Expression
tposmpt2	|- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Distinct variable group:   x, y

Allowed substitution hints:   A( x, y)   B( x, y)   C( x, y)   F( x, y)

Proof of Theorem tposmpt2

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tposmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A , y e. B |-> C )
2		df-mpt2 5517	. . . 4 |- ( x e. A , y e. B |-> C ) = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) }
3		ancom 253	. . . . . 6 |- ( ( x e. A /\ y e. B ) <-> ( y e. B /\ x e. A ) )
4	3	anbi1i 431	. . . . 5 |- ( ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) <-> ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) )
5	4	oprabbii 5560	. . . 4 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. A /\ y e. B ) /\ z = C ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
6	1, 2, 5	3eqtri 2064	. . 3 |- F = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
7	6	tposoprab 5895	. 2 |- tpos F = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
8		df-mpt2 5517	. 2 |- ( y e. B , x e. A |-> C ) = { <. <. y , x >. , z >. | ( ( y e. B /\ x e. A ) /\ z = C ) }
9	7, 8	eqtr4i 2063	1 |- tpos F = ( y e. B , x e. A |-> C )

Syntax hints:   /\ wa 97   = wceq 1243   e. wcel 1393   {coprab 5513   |-> cmpt2 5514  tpos ctpos 5859

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-tpos 5860

This theorem is referenced by: (None)