Theorem mptfvex 5256

Description: Sufficient condition for a maps-to notation to be set-like. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Jul-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
fvmpt2.1	|- F = ( x e. A |-> B )

Assertion

Ref	Expression
mptfvex	|- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Distinct variable groups:   x, A   x, C

Allowed substitution hints:   B( x)   F( x)   V( x)   W( x)

Proof of Theorem mptfvex

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		csbeq1 2855	. . 3 |- ( y = C -> [_ y / x ]_ B = [_ C / x ]_ B )
2		fvmpt2.1	. . . 4 |- F = ( x e. A |-> B )
3		nfcv 2178	. . . . 5 |- F/_ y B
4		nfcsb1v 2882	. . . . 5 |- F/_ x [_ y / x ]_ B
5		csbeq1a 2860	. . . . 5 |- ( x = y -> B = [_ y / x ]_ B )
6	3, 4, 5	cbvmpt 3851	. . . 4 |- ( x e. A |-> B ) = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
7	2, 6	eqtri 2060	. . 3 |- F = ( y e. A |-> [_ y / x ]_ B )
8	1, 7	fvmptss2 5247	. 2 |- ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B
9		elex 2566	. . . . . 6 |- ( B e. V -> B e. _V )
10	9	alimi 1344	. . . . 5 |- ( A. x B e. V -> A. x B e. _V )
11	3	nfel1 2188	. . . . . 6 |- F/ y B e. _V
12	4	nfel1 2188	. . . . . 6 |- F/ x [_ y / x ]_ B e. _V
13	5	eleq1d 2106	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( B e. _V <-> [_ y / x ]_ B e. _V ) )
14	11, 12, 13	cbval 1637	. . . . 5 |- ( A. x B e. _V <-> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
15	10, 14	sylib 127	. . . 4 |- ( A. x B e. V -> A. y [_ y / x ]_ B e. _V )
16	1	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( y = C -> ( [_ y / x ]_ B e. _V <-> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
17	16	spcgv 2640	. . . 4 |- ( C e. W -> ( A. y [_ y / x ]_ B e. _V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
18	15, 17	syl5 28	. . 3 |- ( C e. W -> ( A. x B e. V -> [_ C / x ]_ B e. _V ) )
19	18	impcom 116	. 2 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> [_ C / x ]_ B e. _V )
20		ssexg 3896	. 2 |- ( ( ( F ` C ) C_ [_ C / x ]_ B /\ [_ C / x ]_ B e. _V ) -> ( F ` C ) e. _V )
21	8, 19, 20	sylancr 393	1 |- ( ( A. x B e. V /\ C e. W ) -> ( F ` C ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   A.wal 1241   = wceq 1243   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   [_csb 2852   C_ wss 2917   |-> cmpt 3818   ` cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  mpt2fvex  5829  xpcomco  6300