ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0mulcl Structured version   Unicode version

Theorem un0mulcl 7992
Description: If  S is closed under multiplication, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  S  C_  CC
un0addcl.2  T  S  u.  {
0 }
un0mulcl.3  M  S  N  S  M  x.  N  S
Assertion
Ref Expression
un0mulcl  M  T  N  T  M  x.  N  T

Proof of Theorem un0mulcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  T  S  u.  {
0 }
21eleq2i 2101 . . . 4  N  T  N  S  u.  {
0 }
3 elun 3078 . . . 4  N  S  u.  { 0 }  N  S  N  { 0 }
42, 3bitri 173 . . 3  N  T  N  S  N  { 0 }
51eleq2i 2101 . . . . . 6  M  T  M  S  u.  {
0 }
6 elun 3078 . . . . . 6  M  S  u.  { 0 }  M  S  M  { 0 }
75, 6bitri 173 . . . . 5  M  T  M  S  M  { 0 }
8 ssun1 3100 . . . . . . . . 9  S  C_  S  u.  { 0 }
98, 1sseqtr4i 2972 . . . . . . . 8  S  C_  T
10 un0mulcl.3 . . . . . . . 8  M  S  N  S  M  x.  N  S
119, 10sseldi 2937 . . . . . . 7  M  S  N  S  M  x.  N  T
1211expr 357 . . . . . 6  M  S  N  S  M  x.  N  T
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  S  C_  CC
1413sselda 2939 . . . . . . . . . 10  N  S  N  CC
1514mul02d 7185 . . . . . . . . 9  N  S  0  x.  N  0
16 ssun2 3101 . . . . . . . . . . 11  { 0 }  C_  S  u.  { 0 }
1716, 1sseqtr4i 2972 . . . . . . . . . 10  { 0 }  C_  T
18 c0ex 6819 . . . . . . . . . . 11  0  _V
1918snss 3485 . . . . . . . . . 10  0  T  { 0 }  C_  T
2017, 19mpbir 134 . . . . . . . . 9  0  T
2115, 20syl6eqel 2125 . . . . . . . 8  N  S  0  x.  N  T
22 elsni 3391 . . . . . . . . . 10  M  { 0 }  M  0
2322oveq1d 5470 . . . . . . . . 9  M  { 0 }  M  x.  N  0  x.  N
2423eleq1d 2103 . . . . . . . 8  M  { 0 }  M  x.  N  T  0  x.  N  T
2521, 24syl5ibrcom 146 . . . . . . 7  N  S  M 
{ 0 }  M  x.  N  T
2625impancom 247 . . . . . 6  M  {
0 }  N  S  M  x.  N  T
2712, 26jaodan 709 . . . . 5  M  S  M 
{ 0 }  N  S  M  x.  N  T
287, 27sylan2b 271 . . . 4  M  T  N  S  M  x.  N  T
29 0cnd 6818 . . . . . . . . . . 11  0  CC
3029snssd 3500 . . . . . . . . . 10  { 0 }  C_  CC
3113, 30unssd 3113 . . . . . . . . 9  S  u.  {
0 }  C_  CC
321, 31syl5eqss 2983 . . . . . . . 8  T  C_  CC
3332sselda 2939 . . . . . . 7  M  T  M  CC
3433mul01d 7186 . . . . . 6  M  T  M  x.  0  0
3534, 20syl6eqel 2125 . . . . 5  M  T  M  x.  0  T
36 elsni 3391 . . . . . . 7  N  { 0 }  N  0
3736oveq2d 5471 . . . . . 6  N  { 0 }  M  x.  N  M  x.  0
3837eleq1d 2103 . . . . 5  N  { 0 }  M  x.  N  T  M  x.  0  T
3935, 38syl5ibrcom 146 . . . 4  M  T  N 
{ 0 }  M  x.  N  T
4028, 39jaod 636 . . 3  M  T  N  S  N  { 0 }  M  x.  N  T
414, 40syl5bi 141 . 2  M  T  N  T  M  x.  N  T
4241impr 361 1  M  T  N  T  M  x.  N  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711    x. cmul 6716
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-cnre 6794
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-sub 6981
This theorem is referenced by:  nn0mulcl  7994
  Copyright terms: Public domain W3C validator