Theorem un0addcl 8083

Description: If S is closed under addition, then so is S u. { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
un0addcl.1	|- (ph -> S C_ CC)
un0addcl.2	|- T = ( S u. { 0 })
un0addcl.3	|- ((ph /\ ( M e. S /\ N e. S)) -> ( M + N) e. S)

Assertion

Ref	Expression
un0addcl	|- ((ph /\ ( M e. T /\ N e. T)) -> ( M + N) e. T)

Proof of Theorem un0addcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		un0addcl.2	. . . . 5 |- T = ( S u. { 0 })
2	1	eleq2i 2104	. . . 4 |- ( N e. T <-> N e. ( S u. { 0 }))
3		elun 3081	. . . 4 |- ( N e. ( S u. { 0 }) <-> ( N e. S \/ N e. { 0 }))
4	2, 3	bitri 173	. . 3 |- ( N e. T <-> ( N e. S \/ N e. { 0 }))
5	1	eleq2i 2104	. . . . . 6 |- ( M e. T <-> M e. ( S u. { 0 }))
6		elun 3081	. . . . . 6 |- ( M e. ( S u. { 0 }) <-> ( M e. S \/ M e. { 0 }))
7	5, 6	bitri 173	. . . . 5 |- ( M e. T <-> ( M e. S \/ M e. { 0 }))
8		ssun1 3103	. . . . . . . . 9 |- S C_ ( S u. { 0 })
9	8, 1	sseqtr4i 2975	. . . . . . . 8 |- S C_ T
10		un0addcl.3	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ ( M e. S /\ N e. S)) -> ( M + N) e. S)
11	9, 10	sseldi 2940	. . . . . . 7 |- ((ph /\ ( M e. S /\ N e. S)) -> ( M + N) e. T)
12	11	expr 357	. . . . . 6 |- ((ph /\ M e. S) -> ( N e. S -> ( M + N) e. T))
13		un0addcl.1	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> S C_ CC)
14	13	sselda 2942	. . . . . . . . . 10 |- ((ph /\ N e. S) -> N e. CC)
15	14	addid2d 7052	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ N e. S) -> ( 0 + N) = N)
16	9	a1i 9	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> S C_ T)
17	16	sselda 2942	. . . . . . . . 9 |- ((ph /\ N e. S) -> N e. T)
18	15, 17	eqeltrd 2114	. . . . . . . 8 |- ((ph /\ N e. S) -> ( 0 + N) e. T)
19		elsni 3394	. . . . . . . . . 10 |- ( M e. { 0 } -> M = 0)
20	19	oveq1d 5473	. . . . . . . . 9 |- ( M e. { 0 } -> ( M + N) = ( 0 + N))
21	20	eleq1d 2106	. . . . . . . 8 |- ( M e. { 0 } -> (( M + N) e. T <-> ( 0 + N) e. T))
22	18, 21	syl5ibrcom 146	. . . . . . 7 |- ((ph /\ N e. S) -> ( M e. { 0 } -> ( M + N) e. T))
23	22	impancom 247	. . . . . 6 |- ((ph /\ M e. { 0 }) -> ( N e. S -> ( M + N) e. T))
24	12, 23	jaodan 710	. . . . 5 |- ((ph /\ ( M e. S \/ M e. { 0 })) -> ( N e. S -> ( M + N) e. T))
25	7, 24	sylan2b 271	. . . 4 |- ((ph /\ M e. T) -> ( N e. S -> ( M + N) e. T))
26		0cnd 6910	. . . . . . . . . . 11 |- (ph -> 0 e. CC)
27	26	snssd 3503	. . . . . . . . . 10 |- (ph -> { 0 } C_ CC)
28	13, 27	unssd 3116	. . . . . . . . 9 |- (ph -> ( S u. { 0 }) C_ CC)
29	1, 28	syl5eqss 2986	. . . . . . . 8 |- (ph -> T C_ CC)
30	29	sselda 2942	. . . . . . 7 |- ((ph /\ M e. T) -> M e. CC)
31	30	addid1d 7051	. . . . . 6 |- ((ph /\ M e. T) -> ( M + 0) = M)
32		simpr 103	. . . . . 6 |- ((ph /\ M e. T) -> M e. T)
33	31, 32	eqeltrd 2114	. . . . 5 |- ((ph /\ M e. T) -> ( M + 0) e. T)
34		elsni 3394	. . . . . . 7 |- ( N e. { 0 } -> N = 0)
35	34	oveq2d 5474	. . . . . 6 |- ( N e. { 0 } -> ( M + N) = ( M + 0))
36	35	eleq1d 2106	. . . . 5 |- ( N e. { 0 } -> (( M + N) e. T <-> ( M + 0) e. T))
37	33, 36	syl5ibrcom 146	. . . 4 |- ((ph /\ M e. T) -> ( N e. { 0 } -> ( M + N) e. T))
38	25, 37	jaod 637	. . 3 |- ((ph /\ M e. T) -> (( N e. S \/ N e. { 0 }) -> ( M + N) e. T))
39	4, 38	syl5bi 141	. 2 |- ((ph /\ M e. T) -> ( N e. T -> ( M + N) e. T))
40	39	impr 361	1 |- ((ph /\ ( M e. T /\ N e. T)) -> ( M + N) e. T)

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   \/ wo 629   = wceq 1243   e. wcel 1393   u. cun 2912   C_ wss 2914   {csn 3370  (class class class)co 5458   CCcc 6777   0cc0 6779   + caddc 6782

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-1cn 6867  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-mulcl 6872  ax-addcom 6874  ax-i2m1 6879  ax-0id 6882

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2309  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-br 3759  df-iota 4813  df-fv 4856  df-ov 5461

This theorem is referenced by:  nn0addcl  8085