ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0addcl Unicode version

Theorem un0addcl 8083
Description: If  S is closed under addition, then so is  S  u.  { 0 }. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1  S  C_  CC
un0addcl.2  T  S  u.  {
0 }
un0addcl.3  M  S  N  S  M  +  N  S
Assertion
Ref Expression
un0addcl  M  T  N  T  M  +  N  T

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5  T  S  u.  {
0 }
21eleq2i 2104 . . . 4  N  T  N  S  u.  {
0 }
3 elun 3081 . . . 4  N  S  u.  { 0 }  N  S  N  { 0 }
42, 3bitri 173 . . 3  N  T  N  S  N  { 0 }
51eleq2i 2104 . . . . . 6  M  T  M  S  u.  {
0 }
6 elun 3081 . . . . . 6  M  S  u.  { 0 }  M  S  M  { 0 }
75, 6bitri 173 . . . . 5  M  T  M  S  M  { 0 }
8 ssun1 3103 . . . . . . . . 9  S  C_  S  u.  { 0 }
98, 1sseqtr4i 2975 . . . . . . . 8  S  C_  T
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8  M  S  N  S  M  +  N  S
119, 10sseldi 2940 . . . . . . 7  M  S  N  S  M  +  N  T
1211expr 357 . . . . . 6  M  S  N  S  M  +  N  T
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11  S  C_  CC
1413sselda 2942 . . . . . . . . . 10  N  S  N  CC
1514addid2d 7052 . . . . . . . . 9  N  S  0  +  N  N
169a1i 9 . . . . . . . . . 10  S  C_  T
1716sselda 2942 . . . . . . . . 9  N  S  N  T
1815, 17eqeltrd 2114 . . . . . . . 8  N  S  0  +  N  T
19 elsni 3394 . . . . . . . . . 10  M  { 0 }  M  0
2019oveq1d 5473 . . . . . . . . 9  M  { 0 }  M  +  N  0  +  N
2120eleq1d 2106 . . . . . . . 8  M  { 0 }  M  +  N  T  0  +  N  T
2218, 21syl5ibrcom 146 . . . . . . 7  N  S  M 
{ 0 }  M  +  N  T
2322impancom 247 . . . . . 6  M  {
0 }  N  S  M  +  N  T
2412, 23jaodan 710 . . . . 5  M  S  M 
{ 0 }  N  S  M  +  N  T
257, 24sylan2b 271 . . . 4  M  T  N  S  M  +  N  T
26 0cnd 6910 . . . . . . . . . . 11  0  CC
2726snssd 3503 . . . . . . . . . 10  { 0 }  C_  CC
2813, 27unssd 3116 . . . . . . . . 9  S  u.  {
0 }  C_  CC
291, 28syl5eqss 2986 . . . . . . . 8  T  C_  CC
3029sselda 2942 . . . . . . 7  M  T  M  CC
3130addid1d 7051 . . . . . 6  M  T  M  + 
0  M
32 simpr 103 . . . . . 6  M  T  M  T
3331, 32eqeltrd 2114 . . . . 5  M  T  M  + 
0  T
34 elsni 3394 . . . . . . 7  N  { 0 }  N  0
3534oveq2d 5474 . . . . . 6  N  { 0 }  M  +  N  M  +  0
3635eleq1d 2106 . . . . 5  N  { 0 }  M  +  N  T  M  +  0  T
3733, 36syl5ibrcom 146 . . . 4  M  T  N 
{ 0 }  M  +  N  T
3825, 37jaod 637 . . 3  M  T  N  S  N  { 0 }  M  +  N  T
394, 38syl5bi 141 . 2  M  T  N  T  M  +  N  T
4039impr 361 1  M  T  N  T  M  +  N  T
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wo 629   wceq 1243   wcel 1393    u. cun 2912    C_ wss 2914   {csn 3370  (class class class)co 5458   CCcc 6777   0cc0 6779    + caddc 6782
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-1cn 6867  ax-icn 6869  ax-addcl 6870  ax-mulcl 6872  ax-addcom 6874  ax-i2m1 6879  ax-0id 6882
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2309  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-sn 3376  df-pr 3377  df-op 3379  df-uni 3575  df-br 3759  df-iota 4813  df-fv 4856  df-ov 5461
This theorem is referenced by:  nn0addcl  8085
  Copyright terms: Public domain W3C validator