ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  un0addcl GIF version

Theorem un0addcl 8187
Description: If 𝑆 is closed under addition, then so is 𝑆 ∪ {0}. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
un0addcl.1 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
un0addcl.2 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
un0addcl.3 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
Assertion
Ref Expression
un0addcl ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)

Proof of Theorem un0addcl
StepHypRef Expression
1 un0addcl.2 . . . . 5 𝑇 = (𝑆 ∪ {0})
21eleq2i 2104 . . . 4 (𝑁𝑇𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
3 elun 3081 . . . 4 (𝑁 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
42, 3bitri 173 . . 3 (𝑁𝑇 ↔ (𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}))
51eleq2i 2104 . . . . . 6 (𝑀𝑇𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}))
6 elun 3081 . . . . . 6 (𝑀 ∈ (𝑆 ∪ {0}) ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
75, 6bitri 173 . . . . 5 (𝑀𝑇 ↔ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0}))
8 ssun1 3103 . . . . . . . . 9 𝑆 ⊆ (𝑆 ∪ {0})
98, 1sseqtr4i 2975 . . . . . . . 8 𝑆𝑇
10 un0addcl.3 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑆)
119, 10sseldi 2940 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑁𝑆)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
1211expr 357 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑆) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
13 un0addcl.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑆 ⊆ ℂ)
1413sselda 2942 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁 ∈ ℂ)
1514addid2d 7143 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) = 𝑁)
169a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆𝑇)
1716sselda 2942 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑁𝑆) → 𝑁𝑇)
1815, 17eqeltrd 2114 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑁𝑆) → (0 + 𝑁) ∈ 𝑇)
19 elsni 3390 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ {0} → 𝑀 = 0)
2019oveq1d 5514 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (0 + 𝑁))
2120eleq1d 2106 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (0 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2218, 21syl5ibrcom 146 . . . . . . 7 ((𝜑𝑁𝑆) → (𝑀 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2322impancom 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑀 ∈ {0}) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
2412, 23jaodan 710 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑆𝑀 ∈ {0})) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
257, 24sylan2b 271 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑆 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
26 0cnd 7001 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → 0 ∈ ℂ)
2726snssd 3506 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → {0} ⊆ ℂ)
2813, 27unssd 3116 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆 ∪ {0}) ⊆ ℂ)
291, 28syl5eqss 2986 . . . . . . . 8 (𝜑𝑇 ⊆ ℂ)
3029sselda 2942 . . . . . . 7 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀 ∈ ℂ)
3130addid1d 7142 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) = 𝑀)
32 simpr 103 . . . . . 6 ((𝜑𝑀𝑇) → 𝑀𝑇)
3331, 32eqeltrd 2114 . . . . 5 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑀 + 0) ∈ 𝑇)
34 elsni 3390 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ {0} → 𝑁 = 0)
3534oveq2d 5515 . . . . . 6 (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
3635eleq1d 2106 . . . . 5 (𝑁 ∈ {0} → ((𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇 ↔ (𝑀 + 0) ∈ 𝑇))
3733, 36syl5ibrcom 146 . . . 4 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁 ∈ {0} → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
3825, 37jaod 637 . . 3 ((𝜑𝑀𝑇) → ((𝑁𝑆𝑁 ∈ {0}) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
394, 38syl5bi 141 . 2 ((𝜑𝑀𝑇) → (𝑁𝑇 → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇))
4039impr 361 1 ((𝜑 ∧ (𝑀𝑇𝑁𝑇)) → (𝑀 + 𝑁) ∈ 𝑇)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 97  wo 629   = wceq 1243  wcel 1393  cun 2912  wss 2914  {csn 3372  (class class class)co 5499  cc 6868  0cc0 6870   + caddc 6873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-1cn 6958  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-mulcl 6963  ax-addcom 6965  ax-i2m1 6970  ax-0id 6973
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-rex 2309  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-br 3762  df-iota 4854  df-fv 4897  df-ov 5502
This theorem is referenced by:  nn0addcl  8189
  Copyright terms: Public domain W3C validator