ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0mnnnnn0 Unicode version

Theorem 0mnnnnn0 8177
Description: The result of subtracting a positive integer from 0 is not a nonnegative integer. (Contributed by Alexander van der Vekens, 19-Mar-2018.)
Assertion
Ref Expression
0mnnnnn0  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )

Proof of Theorem 0mnnnnn0
StepHypRef Expression
1 0re 6999 . . 3  |-  0  e.  RR
2 df-neg 7156 . . . . . 6  |-  -u N  =  ( 0  -  N )
32eqcomi 2044 . . . . 5  |-  ( 0  -  N )  = 
-u N
43eleq1i 2103 . . . 4  |-  ( ( 0  -  N )  e.  NN0  <->  -u N  e.  NN0 )
5 nn0ge0 8170 . . . . 5  |-  ( -u N  e.  NN0  ->  0  <_ 
-u N )
6 nnre 7888 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
76le0neg1d 7478 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  0  <_  -u N ) )
8 nngt0 7906 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  0  <  N )
9 0red 7000 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  0  e.  RR )
106, 9lenltd 7105 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  <->  -.  0  <  N ) )
11 pm2.21 547 . . . . . . . 8  |-  ( -.  0  <  N  -> 
( 0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) )
1210, 11syl6bi 152 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  (
0  <  N  ->  -.  0  e.  RR ) ) )
138, 12mpid 37 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  ( N  <_  0  ->  -.  0  e.  RR )
)
147, 13sylbird 159 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  <_  -u N  ->  -.  0  e.  RR ) )
155, 14syl5 28 . . . 4  |-  ( N  e.  NN  ->  ( -u N  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
164, 15syl5bi 141 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  (
( 0  -  N
)  e.  NN0  ->  -.  0  e.  RR ) )
171, 16mt2i 573 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  -.  ( 0  -  N
)  e.  NN0 )
18 df-nel 2207 . 2  |-  ( ( 0  -  N )  e/  NN0  <->  -.  ( 0  -  N )  e. 
NN0 )
1917, 18sylibr 137 1  |-  ( N  e.  NN  ->  (
0  -  N )  e/  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    e. wcel 1393    e/ wnel 2205   class class class wbr 3761  (class class class)co 5490   RRcr 6860   0cc0 6861    < clt 7031    <_ cle 7032    - cmin 7153   -ucneg 7154   NNcn 7881   NN0cn0 8144
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3869  ax-sep 3872  ax-nul 3880  ax-pow 3924  ax-pr 3941  ax-un 4157  ax-setind 4247  ax-iinf 4289  ax-cnex 6947  ax-resscn 6948  ax-1cn 6949  ax-1re 6950  ax-icn 6951  ax-addcl 6952  ax-addrcl 6953  ax-mulcl 6954  ax-addcom 6956  ax-addass 6958  ax-distr 6960  ax-i2m1 6961  ax-0id 6964  ax-rnegex 6965  ax-cnre 6967  ax-pre-ltirr 6968  ax-pre-ltwlin 6969  ax-pre-lttrn 6970  ax-pre-ltadd 6972
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2308  df-rex 2309  df-reu 2310  df-rab 2312  df-v 2556  df-sbc 2762  df-csb 2850  df-dif 2917  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-nul 3222  df-pw 3358  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-iun 3656  df-br 3762  df-opab 3816  df-mpt 3817  df-tr 3852  df-eprel 4023  df-id 4027  df-po 4030  df-iso 4031  df-iord 4090  df-on 4092  df-suc 4095  df-iom 4292  df-xp 4329  df-rel 4330  df-cnv 4331  df-co 4332  df-dm 4333  df-rn 4334  df-res 4335  df-ima 4336  df-iota 4845  df-fun 4882  df-fn 4883  df-f 4884  df-f1 4885  df-fo 4886  df-f1o 4887  df-fv 4888  df-riota 5446  df-ov 5493  df-oprab 5494  df-mpt2 5495  df-1st 5745  df-2nd 5746  df-recs 5898  df-irdg 5935  df-1o 5979  df-2o 5980  df-oadd 5983  df-omul 5984  df-er 6084  df-ec 6086  df-qs 6090  df-ni 6374  df-pli 6375  df-mi 6376  df-lti 6377  df-plpq 6414  df-mpq 6415  df-enq 6417  df-nqqs 6418  df-plqqs 6419  df-mqqs 6420  df-1nqqs 6421  df-rq 6422  df-ltnqqs 6423  df-enq0 6494  df-nq0 6495  df-0nq0 6496  df-plq0 6497  df-mq0 6498  df-inp 6536  df-i1p 6537  df-iplp 6538  df-iltp 6540  df-enr 6783  df-nr 6784  df-ltr 6787  df-0r 6788  df-1r 6789  df-0 6868  df-1 6869  df-r 6871  df-lt 6874  df-pnf 7033  df-mnf 7034  df-xr 7035  df-ltxr 7036  df-le 7037  df-sub 7155  df-neg 7156  df-inn 7882  df-n0 8145
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator