ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nn0addcl Unicode version

Theorem nn0addcl 8189
Description: Closure of addition of nonnegative integers. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 17-Jul-2014.)
Assertion
Ref Expression
nn0addcl  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )

Proof of Theorem nn0addcl
StepHypRef Expression
1 nnsscn 7895 . 2  |-  NN  C_  CC
2 id 19 . . 3  |-  ( NN  C_  CC  ->  NN  C_  CC )
3 df-n0 8154 . . 3  |-  NN0  =  ( NN  u.  { 0 } )
4 nnaddcl 7910 . . . 4  |-  ( ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( M  +  N
)  e.  NN )
54adantl 262 . . 3  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN  /\  N  e.  NN ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN )
62, 3, 5un0addcl 8187 . 2  |-  ( ( NN  C_  CC  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
71, 6mpan 400 1  |-  ( ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( M  +  N
)  e.  NN0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    e. wcel 1393    C_ wss 2914  (class class class)co 5499   CCcc 6868    + caddc 6873   NNcn 7890   NN0cn0 8153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3872  ax-cnex 6956  ax-resscn 6957  ax-1cn 6958  ax-1re 6959  ax-icn 6960  ax-addcl 6961  ax-addrcl 6962  ax-mulcl 6963  ax-addcom 6965  ax-addass 6967  ax-i2m1 6970  ax-0id 6973
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2308  df-rex 2309  df-rab 2312  df-v 2556  df-un 2919  df-in 2921  df-ss 2928  df-sn 3378  df-pr 3379  df-op 3381  df-uni 3578  df-int 3613  df-br 3762  df-iota 4854  df-fv 4897  df-ov 5502  df-inn 7891  df-n0 8154
This theorem is referenced by:  nn0addcli  8191  peano2nn0  8194  nn0addcld  8211  nn0readdcl  8213  elfz0addOLD  8947  difelfznle  8960  elfzodifsumelfzo  9024  expadd  9175
  Copyright terms: Public domain W3C validator