Theorem peano2nnnn 6929

Description: A successor of a positive integer is a positive integer. This is a counterpart to peano2nn 7926 designed for real number axioms which involve to natural numbers (notably, axcaucvg 6974). (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.) (New usage is discouraged.)

Hypothesis

Ref	Expression
peano1nnnn.n	|- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }

Assertion

Ref	Expression
peano2nnnn	|- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Distinct variable groups:   x, y   y, A

Allowed substitution hints:   A( x)   N( x, y)

Proof of Theorem peano2nnnn

Dummy variable z is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		peano1nnnn.n	. . . . . 6 |- N = |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) }
2	1	eleq2i 2104	. . . . 5 |- ( A e. N <-> A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
3		elintg 3623	. . . . 5 |- ( A e. N -> ( A e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
4	2, 3	syl5bb 181	. . . 4 |- ( A e. N -> ( A e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z ) )
5	4	ibi 165	. . 3 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z )
6		vex 2560	. . . . . . . 8 |- z e. _V
7		eleq2 2101	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( 1 e. x <-> 1 e. z ) )
8		eleq2 2101	. . . . . . . . . 10 |- ( x = z -> ( ( y + 1 ) e. x <-> ( y + 1 ) e. z ) )
9	8	raleqbi1dv 2513	. . . . . . . . 9 |- ( x = z -> ( A. y e. x ( y + 1 ) e. x <-> A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
10	7, 9	anbi12d 442	. . . . . . . 8 |- ( x = z -> ( ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) ) )
11	6, 10	elab 2687	. . . . . . 7 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> ( 1 e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) )
12	11	simprbi 260	. . . . . 6 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> A. y e. z ( y + 1 ) e. z )
13		oveq1 5519	. . . . . . . 8 |- ( y = A -> ( y + 1 ) = ( A + 1 ) )
14	13	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( y = A -> ( ( y + 1 ) e. z <-> ( A + 1 ) e. z ) )
15	14	rspcva 2654	. . . . . 6 |- ( ( A e. z /\ A. y e. z ( y + 1 ) e. z ) -> ( A + 1 ) e. z )
16	12, 15	sylan2 270	. . . . 5 |- ( ( A e. z /\ z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ) -> ( A + 1 ) e. z )
17	16	expcom 109	. . . 4 |- ( z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } -> ( A e. z -> ( A + 1 ) e. z ) )
18	17	ralimia 2382	. . 3 |- ( A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } A e. z -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
19	5, 18	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z )
20		df-1 6897	. . . . 5 |- 1 = <. 1R , 0R >.
21		1sr 6836	. . . . . 6 |- 1R e. R.
22		0r 6835	. . . . . 6 |- 0R e. R.
23		opexg 3964	. . . . . 6 |- ( ( 1R e. R. /\ 0R e. R. ) -> <. 1R , 0R >. e. _V )
24	21, 22, 23	mp2an 402	. . . . 5 |- <. 1R , 0R >. e. _V
25	20, 24	eqeltri 2110	. . . 4 |- 1 e. _V
26		addvalex 6920	. . . 4 |- ( ( A e. N /\ 1 e. _V ) -> ( A + 1 ) e. _V )
27	25, 26	mpan2 401	. . 3 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. _V )
28	1	eleq2i 2104	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. N <-> ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } )
29		elintg 3623	. . . 4 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. |^| { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
30	28, 29	syl5bb 181	. . 3 |- ( ( A + 1 ) e. _V -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
31	27, 30	syl 14	. 2 |- ( A e. N -> ( ( A + 1 ) e. N <-> A. z e. { x | ( 1 e. x /\ A. y e. x ( y + 1 ) e. x ) } ( A + 1 ) e. z ) )
32	19, 31	mpbird 156	1 |- ( A e. N -> ( A + 1 ) e. N )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   _Vcvv 2557   <.cop 3378   |^|cint 3615  (class class class)co 5512   R.cnr 6395   0Rc0r 6396   1Rc1r 6397   1c1 6890   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-enr 6811  df-nr 6812  df-0r 6816  df-1r 6817  df-c 6895  df-1 6897  df-add 6900

This theorem is referenced by:  nnindnn  6967