ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ltrennb Unicode version

Theorem ltrennb 6930
Description: Ordering of natural numbers with  <N or  <RR. (Contributed by Jim Kingdon, 13-Jul-2021.)
Assertion
Ref Expression
ltrennb  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Distinct variable groups:    J, l    u, J    K, l    u, K

Proof of Theorem ltrennb
StepHypRef Expression
1 ltnnnq 6521 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  ) )
2 nnnq 6520 . . . . 5  |-  ( J  e.  N.  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
32adantr 261 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
4 nnnq 6520 . . . . 5  |-  ( K  e.  N.  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
54adantl 262 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )
6 ltnqpr 6691 . . . 4  |-  ( ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  /\ 
[ <. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
73, 5, 6syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  <->  <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >. ) )
8 nqprlu 6645 . . . . 5  |-  ( [
<. J ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
93, 8syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
10 nqprlu 6645 . . . . 5  |-  ( [
<. K ,  1o >. ]  ~Q  e.  Q.  ->  <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
115, 10syl 14 . . . 4  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  -> 
<. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )
12 prsrlt 6871 . . . 4  |-  ( (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P.  /\  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  e.  P. )  -> 
( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
139, 11, 12syl2anc 391 . . 3  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <P  <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  <->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
141, 7, 133bitrd 203 . 2  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
)
15 ltresr 6915 . 2  |-  ( <. [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. 
<->  [ <. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  <R  [
<. ( <. { l  |  l  <Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  )
1614, 15syl6bbr 187 1  |-  ( ( J  e.  N.  /\  K  e.  N. )  ->  ( J  <N  K  <->  <. [ <. (
<. { l  |  l 
<Q  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. J ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >.  <RR  <. [ <. ( <. { l  |  l 
<Q  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  } ,  { u  |  [ <. K ,  1o >. ]  ~Q  <Q  u } >.  +P.  1P ) ,  1P >. ]  ~R  ,  0R >. ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    e. wcel 1393   {cab 2026   <.cop 3378   class class class wbr 3764  (class class class)co 5512   1oc1o 5994   [cec 6104   N.cnpi 6370    <N clti 6373    ~Q ceq 6377   Q.cnq 6378    <Q cltq 6383   P.cnp 6389   1Pc1p 6390    +P. cpp 6391    <P cltp 6393    ~R cer 6394   0Rc0r 6396    <R cltr 6401    <RR cltrr 6893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-eprel 4026  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-1o 6001  df-2o 6002  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-pli 6403  df-mi 6404  df-lti 6405  df-plpq 6442  df-mpq 6443  df-enq 6445  df-nqqs 6446  df-plqqs 6447  df-mqqs 6448  df-1nqqs 6449  df-rq 6450  df-ltnqqs 6451  df-enq0 6522  df-nq0 6523  df-0nq0 6524  df-plq0 6525  df-mq0 6526  df-inp 6564  df-i1p 6565  df-iplp 6566  df-iltp 6568  df-enr 6811  df-nr 6812  df-ltr 6815  df-0r 6816  df-r 6899  df-lt 6902
This theorem is referenced by:  ltrenn  6931  axcaucvglemres  6973
  Copyright terms: Public domain W3C validator