Theorem addvalex 6920

Description: Existence of a sum. This is dependent on how we define + so once we proceed to real number axioms we will replace it with theorems such as addcl 7006. (Contributed by Jim Kingdon, 14-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
addvalex	|- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Proof of Theorem addvalex

Dummy variables u f v w x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5515	. 2 |- ( A + B ) = ( + ` <. A , B >. )
2		df-nr 6812	. . . . 5 |- R. = ( ( P. X. P. ) /. ~R )
3		npex 6571	. . . . . . 7 |- P. e. _V
4	3, 3	xpex 4453	. . . . . 6 |- ( P. X. P. ) e. _V
5	4	qsex 6163	. . . . 5 |- ( ( P. X. P. ) /. ~R ) e. _V
6	2, 5	eqeltri 2110	. . . 4 |- R. e. _V
7		df-add 6900	. . . . 5 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
8		df-c 6895	. . . . . . . . 9 |- CC = ( R. X. R. )
9	8	eleq2i 2104	. . . . . . . 8 |- ( x e. CC <-> x e. ( R. X. R. ) )
10	8	eleq2i 2104	. . . . . . . 8 |- ( y e. CC <-> y e. ( R. X. R. ) )
11	9, 10	anbi12i 433	. . . . . . 7 |- ( ( x e. CC /\ y e. CC ) <-> ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) )
12	11	anbi1i 431	. . . . . 6 |- ( ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) <-> ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) )
13	12	oprabbii 5560	. . . . 5 |- { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. CC /\ y e. CC ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) } = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
14	7, 13	eqtri 2060	. . . 4 |- + = { <. <. x , y >. , z >. | ( ( x e. ( R. X. R. ) /\ y e. ( R. X. R. ) ) /\ E. w E. v E. u E. f ( ( x = <. w , v >. /\ y = <. u , f >. ) /\ z = <. ( w +R u ) , ( v +R f ) >. ) ) }
15	6, 14	oprabex3 5756	. . 3 |- + e. _V
16		opexg 3964	. . 3 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> <. A , B >. e. _V )
17		fvexg 5194	. . 3 |- ( ( + e. _V /\ <. A , B >. e. _V ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
18	15, 16, 17	sylancr 393	. 2 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( + ` <. A , B >. ) e. _V )
19	1, 18	syl5eqel 2124	1 |- ( ( A e. V /\ B e. W ) -> ( A + B ) e. _V )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   X. cxp 4343   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   {coprab 5513   /.cqs 6105   P.cnp 6389   ~R cer 6394   R.cnr 6395   +R cplr 6399   CCcc 6887   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-qs 6112  df-ni 6402  df-nqqs 6446  df-inp 6564  df-nr 6812  df-c 6895  df-add 6900

This theorem is referenced by:  peano2nnnn  6929