ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1ompt Structured version   Unicode version

Theorem f1ompt 5263
Description: Express bijection for a mapping operation. (Contributed by Mario Carneiro, 30-May-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
fmpt.1  F  |->  C
Assertion
Ref Expression
f1ompt  F : -1-1-onto->  C  C
Distinct variable groups:   ,,   ,,   , C   , F
Allowed substitution hints:    C()    F()

Proof of Theorem f1ompt
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ffn 4989 . . . . 5  F : -->  F  Fn
2 dff1o4 5077 . . . . . 6  F : -1-1-onto->  F  Fn  `' F  Fn
32baib 827 . . . . 5  F  Fn  F : -1-1-onto->  `' F  Fn
41, 3syl 14 . . . 4  F : -->  F : -1-1-onto->  `' F  Fn
5 fnres 4958 . . . . . 6  `' F  |`  Fn  `' F
6 nfcv 2175 . . . . . . . . . 10  F/_
7 fmpt.1 . . . . . . . . . . 11  F  |->  C
8 nfmpt1 3841 . . . . . . . . . . 11  F/_  |->  C
97, 8nfcxfr 2172 . . . . . . . . . 10  F/_ F
10 nfcv 2175 . . . . . . . . . 10  F/_
116, 9, 10nfbr 3799 . . . . . . . . 9  F/  F
12 nfv 1418 . . . . . . . . 9  F/  C
13 breq1 3758 . . . . . . . . . 10  F  F
14 df-mpt 3811 . . . . . . . . . . . . 13  |->  C  { <. ,  >.  |  C }
157, 14eqtri 2057 . . . . . . . . . . . 12  F  { <. , 
>.  |  C }
1615breqi 3761 . . . . . . . . . . 11  F  { <. ,  >.  |  C }
17 df-br 3756 . . . . . . . . . . . 12  { <. , 
>.  |  C } 
<. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  C }
18 opabid 3985 . . . . . . . . . . . 12  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  C }  C
1917, 18bitri 173 . . . . . . . . . . 11  { <. , 
>.  |  C }  C
2016, 19bitri 173 . . . . . . . . . 10  F  C
2113, 20syl6bb 185 . . . . . . . . 9  F  C
2211, 12, 21cbveu 1921 . . . . . . . 8  F  C
23 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
24 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
2523, 24brcnv 4461 . . . . . . . . 9  `' F  F
2625eubii 1906 . . . . . . . 8  `' F  F
27 df-reu 2307 . . . . . . . 8  C  C
2822, 26, 273bitr4i 201 . . . . . . 7  `' F  C
2928ralbii 2324 . . . . . 6  `' F  C
305, 29bitri 173 . . . . 5  `' F  |`  Fn  C
31 relcnv 4646 . . . . . . 7  Rel  `' F
32 df-rn 4299 . . . . . . . 8  ran  F  dom  `' F
33 frn 4995 . . . . . . . 8  F : -->  ran 
F  C_
3432, 33syl5eqssr 2984 . . . . . . 7  F : -->  dom  `' F  C_
35 relssres 4591 . . . . . . 7  Rel  `' F  dom  `' F  C_  `' F  |`  `' F
3631, 34, 35sylancr 393 . . . . . 6  F : -->  `' F  |`  `' F
3736fneq1d 4932 . . . . 5  F : -->  `' F  |`  Fn  `' F  Fn
3830, 37syl5bbr 183 . . . 4  F : -->  C  `' F  Fn
394, 38bitr4d 180 . . 3  F : -->  F : -1-1-onto->  C
4039pm5.32i 427 . 2  F : -->  F : -1-1-onto->  F : -->  C
41 f1of 5069 . . 3  F : -1-1-onto->  F :
-->
4241pm4.71ri 372 . 2  F : -1-1-onto->  F :
-->  F :
-1-1-onto->
437fmpt 5262 . . 3  C  F : -->
4443anbi1i 431 . 2  C  C  F : -->  C
4540, 42, 443bitr4i 201 1  F : -1-1-onto->  C  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wb 98   wceq 1242   wcel 1390  weu 1897  wral 2300  wreu 2302    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    |-> cmpt 3809   `'ccnv 4287   dom cdm 4288   ran crn 4289    |` cres 4290   Rel wrel 4293    Fn wfn 4840   -->wf 4841   -1-1-onto->wf1o 4844
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  icoshftf1o  8629
  Copyright terms: Public domain W3C validator