ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnres Structured version   Unicode version

Theorem fnres 4958
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 4872. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres  F  |`  Fn  F
Distinct variable groups:   ,,   , F,

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 253 . . 3  F  F  F  F
2 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
32brres 4561 . . . . . . . . 9  F  |`  F
4 ancom 253 . . . . . . . . 9  F  F
53, 4bitri 173 . . . . . . . 8  F  |`  F
65mobii 1934 . . . . . . 7  F  |`  F
7 moanimv 1972 . . . . . . 7  F  F
86, 7bitri 173 . . . . . 6  F  |`  F
98albii 1356 . . . . 5  F  |`  F
10 relres 4582 . . . . . 6  Rel  F  |`
11 dffun6 4859 . . . . . 6  Fun  F  |`  Rel  F  |`  F  |`
1210, 11mpbiran 846 . . . . 5  Fun  F  |`  F  |`
13 df-ral 2305 . . . . 5  F  F
149, 12, 133bitr4i 201 . . . 4  Fun  F  |`  F
15 dmres 4575 . . . . . . 7  dom  F  |`  i^i  dom  F
16 inss1 3151 . . . . . . 7  i^i  dom  F  C_
1715, 16eqsstri 2969 . . . . . 6  dom  F  |`  C_
18 eqss 2954 . . . . . 6  dom  F  |`  dom  F  |` 
C_  C_ 
dom  F  |`
1917, 18mpbiran 846 . . . . 5  dom  F  |`  C_  dom  F  |`
20 dfss3 2929 . . . . . 6 
C_  dom  F  |`  dom  F  |`
2115elin2 3121 . . . . . . . . 9  dom  F  |`  dom  F
2221baib 827 . . . . . . . 8  dom  F  |` 
dom  F
23 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
2423eldm 4475 . . . . . . . 8  dom  F  F
2522, 24syl6bb 185 . . . . . . 7  dom  F  |`  F
2625ralbiia 2332 . . . . . 6  dom  F  |`  F
2720, 26bitri 173 . . . . 5 
C_  dom  F  |`  F
2819, 27bitri 173 . . . 4  dom  F  |`  F
2914, 28anbi12i 433 . . 3  Fun  F  |`  dom  F  |`  F  F
30 r19.26 2435 . . 3  F  F  F  F
311, 29, 303bitr4i 201 . 2  Fun  F  |`  dom  F  |`  F  F
32 df-fn 4848 . 2  F  |`  Fn  Fun  F  |`  dom  F  |`
33 eu5 1944 . . 3  F  F  F
3433ralbii 2324 . 2  F  F  F
3531, 32, 343bitr4i 201 1  F  |`  Fn  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  weu 1897  wmo 1898  wral 2300    i^i cin 2910    C_ wss 2911   class class class wbr 3755   dom cdm 4288    |` cres 4290   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847  df-fn 4848
This theorem is referenced by:  f1ompt  5263
  Copyright terms: Public domain W3C validator