Theorem dffun8 4929

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 4928. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	|- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Distinct variable group:   x, y, A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 4928	. 2 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) )
2		df-mo 1904	. . . . 5 |- ( E* y x A y <-> ( E. y x A y -> E! y x A y ) )
3		vex 2560	. . . . . . 7 |- x e. _V
4	3	eldm 4532	. . . . . 6 |- ( x e. dom A <-> E. y x A y )
5		pm5.5 231	. . . . . 6 |- ( E. y x A y -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
6	4, 5	sylbi 114	. . . . 5 |- ( x e. dom A -> ( ( E. y x A y -> E! y x A y ) <-> E! y x A y ) )
7	2, 6	syl5bb 181	. . . 4 |- ( x e. dom A -> ( E* y x A y <-> E! y x A y ) )
8	7	ralbiia 2338	. . 3 |- ( A. x e. dom A E* y x A y <-> A. x e. dom A E! y x A y )
9	8	anbi2i 430	. 2 |- ( ( Rel A /\ A. x e. dom A E* y x A y ) <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )
10	1, 9	bitri 173	1 |- ( Fun A <-> ( Rel A /\ A. x e. dom A E! y x A y ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   E.wex 1381   e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   A.wral 2306   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904

This theorem is referenced by:  funco  4940  funimaexglem  4982  funfveu  5188