Theorem dffun8 4872

Description: Alternate definition of a function. One possibility for the definition of a function in [Enderton] p. 42. Compare dffun7 4871. (Contributed by NM, 4-Nov-2002.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dffun8	⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃!y xAy))

Distinct variable group:   x,y,A

Proof of Theorem dffun8

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dffun7 4871	. 2 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃*y xAy))
2		df-mo 1901	. . . . 5 ⊢ (∃*y xAy ↔ (∃y xAy → ∃!y xAy))
3		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
4	3	eldm 4475	. . . . . 6 ⊢ (x ∈ dom A ↔ ∃y xAy)
5		pm5.5 231	. . . . . 6 ⊢ (∃y xAy → ((∃y xAy → ∃!y xAy) ↔ ∃!y xAy))
6	4, 5	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ (x ∈ dom A → ((∃y xAy → ∃!y xAy) ↔ ∃!y xAy))
7	2, 6	syl5bb 181	. . . 4 ⊢ (x ∈ dom A → (∃*y xAy ↔ ∃!y xAy))
8	7	ralbiia 2332	. . 3 ⊢ (∀x ∈ dom A∃*y xAy ↔ ∀x ∈ dom A∃!y xAy)
9	8	anbi2i 430	. 2 ⊢ ((Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃*y xAy) ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃!y xAy))
10	1, 9	bitri 173	1 ⊢ (Fun A ↔ (Rel A ∧ ∀x ∈ dom A∃!y xAy))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  ∀wral 2300   class class class wbr 3755  dom cdm 4288  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847

This theorem is referenced by:  funco  4883  funimaexglem  4925  funfveu  5131