ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  funco Structured version   Unicode version

Theorem funco 4883
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  Fun  F  Fun  G  Fun  F  o.  G

Proof of Theorem funco
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4544 . . . . 5  dom  F  o.  G  C_ 
dom  G
2 funmo 4860 . . . . . . . . . 10  Fun 
F  F
32alrimiv 1751 . . . . . . . . 9  Fun 
F  F
43ralrimivw 2387 . . . . . . . 8  Fun 
F  dom  G  F
5 dffun8 4872 . . . . . . . . 9  Fun 
G  Rel  G  dom  G  G
65simprbi 260 . . . . . . . 8  Fun 
G  dom  G  G
74, 6anim12ci 322 . . . . . . 7  Fun  F  Fun  G  dom  G  G  dom  G  F
8 r19.26 2435 . . . . . . 7  dom  G  G  F  dom  G  G  dom  G  F
97, 8sylibr 137 . . . . . 6  Fun  F  Fun  G  dom  G  G  F
10 nfv 1418 . . . . . . . 8  F/  G
1110euexex 1982 . . . . . . 7  G  F  G  F
1211ralimi 2378 . . . . . 6  dom  G  G  F  dom  G G  F
139, 12syl 14 . . . . 5  Fun  F  Fun  G  dom  G G  F
14 ssralv 2998 . . . . 5  dom  F  o.  G  C_  dom  G  dom  G G  F  dom  F  o.  G G  F
151, 13, 14mpsyl 59 . . . 4  Fun  F  Fun  G  dom  F  o.  G G  F
16 df-br 3756 . . . . . . 7  F  o.  G  <. ,  >.  F  o.  G
17 df-co 4297 . . . . . . . 8  F  o.  G  { <. , 
>.  |  G  F }
1817eleq2i 2101 . . . . . . 7  <. ,  >.  F  o.  G 
<. ,  >. 
{ <. , 
>.  |  G  F }
19 opabid 3985 . . . . . . 7  <. ,  >.  { <. ,  >.  |  G  F }  G  F
2016, 18, 193bitri 195 . . . . . 6  F  o.  G  G  F
2120mobii 1934 . . . . 5  F  o.  G  G  F
2221ralbii 2324 . . . 4  dom  F  o.  G  F  o.  G  dom  F  o.  G G  F
2315, 22sylibr 137 . . 3  Fun  F  Fun  G  dom  F  o.  G  F  o.  G
24 relco 4762 . . 3  Rel  F  o.  G
2523, 24jctil 295 . 2  Fun  F  Fun  G  Rel  F  o.  G 
dom  F  o.  G  F  o.  G
26 dffun7 4871 . 2  Fun  F  o.  G  Rel  F  o.  G  dom  F  o.  G  F  o.  G
2725, 26sylibr 137 1  Fun  F  Fun  G  Fun  F  o.  G
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240  wex 1378   wcel 1390  weu 1897  wmo 1898  wral 2300    C_ wss 2911   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808   dom cdm 4288    o. ccom 4292   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fnco  4950  f1co  5044  tposfun  5816
  Copyright terms: Public domain W3C validator