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Theorem funco 4940
Description: The composition of two functions is a function. Exercise 29 of [TakeutiZaring] p. 25. (Contributed by NM, 26-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 17-Sep-2011.)
Assertion
Ref Expression
funco  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )

Proof of Theorem funco
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dmcoss 4601 . . . . 5  |-  dom  ( F  o.  G )  C_ 
dom  G
2 funmo 4917 . . . . . . . . . 10  |-  ( Fun 
F  ->  E* y 
z F y )
32alrimiv 1754 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
F  ->  A. z E* y  z F
y )
43ralrimivw 2393 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
F  ->  A. x  e.  dom  G A. z E* y  z F
y )
5 dffun8 4929 . . . . . . . . 9  |-  ( Fun 
G  <->  ( Rel  G  /\  A. x  e.  dom  G E! z  x G z ) )
65simprbi 260 . . . . . . . 8  |-  ( Fun 
G  ->  A. x  e.  dom  G E! z  x G z )
74, 6anim12ci 322 . . . . . . 7  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
8 r19.26 2441 . . . . . . 7  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  <->  ( A. x  e.  dom  G E! z  x G z  /\  A. x  e. 
dom  G A. z E* y  z F
y ) )
97, 8sylibr 137 . . . . . 6  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F y ) )
10 nfv 1421 . . . . . . . 8  |-  F/ y  x G z
1110euexex 1985 . . . . . . 7  |-  ( ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
1211ralimi 2384 . . . . . 6  |-  ( A. x  e.  dom  G ( E! z  x G z  /\  A. z E* y  z F
y )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
139, 12syl 14 . . . . 5  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
14 ssralv 3004 . . . . 5  |-  ( dom  ( F  o.  G
)  C_  dom  G  -> 
( A. x  e. 
dom  G E* y E. z ( x G z  /\  z F y )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) ) )
151, 13, 14mpsyl 59 . . . 4  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
16 df-br 3765 . . . . . . 7  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  <. x ,  y >.  e.  ( F  o.  G )
)
17 df-co 4354 . . . . . . . 8  |-  ( F  o.  G )  =  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }
1817eleq2i 2104 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  ( F  o.  G
)  <->  <. x ,  y
>.  e.  { <. x ,  y >.  |  E. z ( x G z  /\  z F y ) } )
19 opabid 3994 . . . . . . 7  |-  ( <.
x ,  y >.  e.  { <. x ,  y
>.  |  E. z
( x G z  /\  z F y ) }  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2016, 18, 193bitri 195 . . . . . 6  |-  ( x ( F  o.  G
) y  <->  E. z
( x G z  /\  z F y ) )
2120mobii 1937 . . . . 5  |-  ( E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2221ralbii 2330 . . . 4  |-  ( A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y  <->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y E. z ( x G z  /\  z F y ) )
2315, 22sylibr 137 . . 3  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y )
24 relco 4819 . . 3  |-  Rel  ( F  o.  G )
2523, 24jctil 295 . 2  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  ( Rel  ( F  o.  G
)  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G ) E* y  x ( F  o.  G ) y ) )
26 dffun7 4928 . 2  |-  ( Fun  ( F  o.  G
)  <->  ( Rel  ( F  o.  G )  /\  A. x  e.  dom  ( F  o.  G
) E* y  x ( F  o.  G
) y ) )
2725, 26sylibr 137 1  |-  ( ( Fun  F  /\  Fun  G )  ->  Fun  ( F  o.  G ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97   A.wal 1241   E.wex 1381    e. wcel 1393   E!weu 1900   E*wmo 1901   A.wral 2306    C_ wss 2917   <.cop 3378   class class class wbr 3764   {copab 3817   dom cdm 4345    o. ccom 4349   Rel wrel 4350   Fun wfun 4896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904
This theorem is referenced by:  fnco  5007  f1co  5101  tposfun  5875
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