ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnres Structured version   GIF version

Theorem fnres 4956
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 4870. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres ((𝐹A) Fn Ax A ∃!y x𝐹y)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝐹,y

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 253 . . 3 ((x A ∃*y x𝐹y x A y x𝐹y) ↔ (x A y x𝐹y x A ∃*y x𝐹y))
2 vex 2554 . . . . . . . . . 10 y V
32brres 4560 . . . . . . . . 9 (x(𝐹A)y ↔ (x𝐹y x A))
4 ancom 253 . . . . . . . . 9 ((x𝐹y x A) ↔ (x A x𝐹y))
53, 4bitri 173 . . . . . . . 8 (x(𝐹A)y ↔ (x A x𝐹y))
65mobii 1934 . . . . . . 7 (∃*y x(𝐹A)y∃*y(x A x𝐹y))
7 moanimv 1972 . . . . . . 7 (∃*y(x A x𝐹y) ↔ (x A∃*y x𝐹y))
86, 7bitri 173 . . . . . 6 (∃*y x(𝐹A)y ↔ (x A∃*y x𝐹y))
98albii 1356 . . . . 5 (x∃*y x(𝐹A)yx(x A∃*y x𝐹y))
10 relres 4581 . . . . . 6 Rel (𝐹A)
11 dffun6 4857 . . . . . 6 (Fun (𝐹A) ↔ (Rel (𝐹A) x∃*y x(𝐹A)y))
1210, 11mpbiran 846 . . . . 5 (Fun (𝐹A) ↔ x∃*y x(𝐹A)y)
13 df-ral 2305 . . . . 5 (x A ∃*y x𝐹yx(x A∃*y x𝐹y))
149, 12, 133bitr4i 201 . . . 4 (Fun (𝐹A) ↔ x A ∃*y x𝐹y)
15 dmres 4574 . . . . . . 7 dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹)
16 inss1 3151 . . . . . . 7 (A ∩ dom 𝐹) ⊆ A
1715, 16eqsstri 2969 . . . . . 6 dom (𝐹A) ⊆ A
18 eqss 2954 . . . . . 6 (dom (𝐹A) = A ↔ (dom (𝐹A) ⊆ A A ⊆ dom (𝐹A)))
1917, 18mpbiran 846 . . . . 5 (dom (𝐹A) = AA ⊆ dom (𝐹A))
20 dfss3 2929 . . . . . 6 (A ⊆ dom (𝐹A) ↔ x A x dom (𝐹A))
2115elin2 3121 . . . . . . . . 9 (x dom (𝐹A) ↔ (x A x dom 𝐹))
2221baib 827 . . . . . . . 8 (x A → (x dom (𝐹A) ↔ x dom 𝐹))
23 vex 2554 . . . . . . . . 9 x V
2423eldm 4474 . . . . . . . 8 (x dom 𝐹y x𝐹y)
2522, 24syl6bb 185 . . . . . . 7 (x A → (x dom (𝐹A) ↔ y x𝐹y))
2625ralbiia 2332 . . . . . 6 (x A x dom (𝐹A) ↔ x A y x𝐹y)
2720, 26bitri 173 . . . . 5 (A ⊆ dom (𝐹A) ↔ x A y x𝐹y)
2819, 27bitri 173 . . . 4 (dom (𝐹A) = Ax A y x𝐹y)
2914, 28anbi12i 433 . . 3 ((Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A) ↔ (x A ∃*y x𝐹y x A y x𝐹y))
30 r19.26 2435 . . 3 (x A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y) ↔ (x A y x𝐹y x A ∃*y x𝐹y))
311, 29, 303bitr4i 201 . 2 ((Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A) ↔ x A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
32 df-fn 4847 . 2 ((𝐹A) Fn A ↔ (Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A))
33 eu5 1944 . . 3 (∃!y x𝐹y ↔ (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
3433ralbii 2324 . 2 (x A ∃!y x𝐹yx A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
3531, 32, 343bitr4i 201 1 ((𝐹A) Fn Ax A ∃!y x𝐹y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  wral 2300  cin 2910  wss 2911   class class class wbr 3754  dom cdm 4287  cres 4289  Rel wrel 4292  Fun wfun 4838   Fn wfn 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3865  ax-pow 3917  ax-pr 3934
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3352  df-sn 3372  df-pr 3373  df-op 3375  df-br 3755  df-opab 3809  df-id 4020  df-xp 4293  df-rel 4294  df-cnv 4295  df-co 4296  df-dm 4297  df-res 4299  df-fun 4846  df-fn 4847
This theorem is referenced by:  f1ompt  5261
  Copyright terms: Public domain W3C validator