ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnres Structured version   GIF version

Theorem fnres 4941
Description: An equivalence for functionality of a restriction. Compare dffun8 4855. (Contributed by Mario Carneiro, 20-May-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnres ((𝐹A) Fn Ax A ∃!y x𝐹y)
Distinct variable groups:   x,y,A   x,𝐹,y

Proof of Theorem fnres
StepHypRef Expression
1 ancom 253 . . 3 ((x A ∃*y x𝐹y x A y x𝐹y) ↔ (x A y x𝐹y x A ∃*y x𝐹y))
2 vex 2538 . . . . . . . . . 10 y V
32brres 4545 . . . . . . . . 9 (x(𝐹A)y ↔ (x𝐹y x A))
4 ancom 253 . . . . . . . . 9 ((x𝐹y x A) ↔ (x A x𝐹y))
53, 4bitri 173 . . . . . . . 8 (x(𝐹A)y ↔ (x A x𝐹y))
65mobii 1919 . . . . . . 7 (∃*y x(𝐹A)y∃*y(x A x𝐹y))
7 moanimv 1957 . . . . . . 7 (∃*y(x A x𝐹y) ↔ (x A∃*y x𝐹y))
86, 7bitri 173 . . . . . 6 (∃*y x(𝐹A)y ↔ (x A∃*y x𝐹y))
98albii 1339 . . . . 5 (x∃*y x(𝐹A)yx(x A∃*y x𝐹y))
10 relres 4566 . . . . . 6 Rel (𝐹A)
11 dffun6 4842 . . . . . 6 (Fun (𝐹A) ↔ (Rel (𝐹A) x∃*y x(𝐹A)y))
1210, 11mpbiran 835 . . . . 5 (Fun (𝐹A) ↔ x∃*y x(𝐹A)y)
13 df-ral 2289 . . . . 5 (x A ∃*y x𝐹yx(x A∃*y x𝐹y))
149, 12, 133bitr4i 201 . . . 4 (Fun (𝐹A) ↔ x A ∃*y x𝐹y)
15 dmres 4559 . . . . . . 7 dom (𝐹A) = (A ∩ dom 𝐹)
16 inss1 3134 . . . . . . 7 (A ∩ dom 𝐹) ⊆ A
1715, 16eqsstri 2952 . . . . . 6 dom (𝐹A) ⊆ A
18 eqss 2937 . . . . . 6 (dom (𝐹A) = A ↔ (dom (𝐹A) ⊆ A A ⊆ dom (𝐹A)))
1917, 18mpbiran 835 . . . . 5 (dom (𝐹A) = AA ⊆ dom (𝐹A))
20 dfss3 2912 . . . . . 6 (A ⊆ dom (𝐹A) ↔ x A x dom (𝐹A))
2115elin2 3104 . . . . . . . . 9 (x dom (𝐹A) ↔ (x A x dom 𝐹))
2221baib 818 . . . . . . . 8 (x A → (x dom (𝐹A) ↔ x dom 𝐹))
23 vex 2538 . . . . . . . . 9 x V
2423eldm 4459 . . . . . . . 8 (x dom 𝐹y x𝐹y)
2522, 24syl6bb 185 . . . . . . 7 (x A → (x dom (𝐹A) ↔ y x𝐹y))
2625ralbiia 2316 . . . . . 6 (x A x dom (𝐹A) ↔ x A y x𝐹y)
2720, 26bitri 173 . . . . 5 (A ⊆ dom (𝐹A) ↔ x A y x𝐹y)
2819, 27bitri 173 . . . 4 (dom (𝐹A) = Ax A y x𝐹y)
2914, 28anbi12i 436 . . 3 ((Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A) ↔ (x A ∃*y x𝐹y x A y x𝐹y))
30 r19.26 2419 . . 3 (x A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y) ↔ (x A y x𝐹y x A ∃*y x𝐹y))
311, 29, 303bitr4i 201 . 2 ((Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A) ↔ x A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
32 df-fn 4832 . 2 ((𝐹A) Fn A ↔ (Fun (𝐹A) dom (𝐹A) = A))
33 eu5 1929 . . 3 (∃!y x𝐹y ↔ (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
3433ralbii 2308 . 2 (x A ∃!y x𝐹yx A (y x𝐹y ∃*y x𝐹y))
3531, 32, 343bitr4i 201 1 ((𝐹A) Fn Ax A ∃!y x𝐹y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1226   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  ∃!weu 1882  ∃*wmo 1883  wral 2284  cin 2893  wss 2894   class class class wbr 3738  dom cdm 4272  cres 4274  Rel wrel 4277  Fun wfun 4823   Fn wfn 4824
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-rel 4279  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-res 4284  df-fun 4831  df-fn 4832
This theorem is referenced by:  f1ompt  5245
  Copyright terms: Public domain W3C validator