Theorem fmpti 5321

Description: Functionality of the mapping operation. (Contributed by NM, 19-Mar-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 1-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fmpt.1	|- F = ( x e. A |-> C )
fmpti.2	|- ( x e. A -> C e. B )

Assertion

Ref	Expression
fmpti	|- F : A --> B

Distinct variable groups:   x, A   x, B

Allowed substitution hints:   C( x)   F( x)

Proof of Theorem fmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fmpti.2	. . 3 |- ( x e. A -> C e. B )
2	1	rgen 2374	. 2 |- A. x e. A C e. B
3		fmpt.1	. . 3 |- F = ( x e. A |-> C )
4	3	fmpt 5319	. 2 |- ( A. x e. A C e. B <-> F : A --> B )
5	2, 4	mpbi 133	1 |- F : A --> B

Syntax hints:   -> wi 4   = wceq 1243   e. wcel 1393   A.wral 2306   |-> cmpt 3818   -->wf 4898

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910

This theorem is referenced by:  cjf  9447  ref  9455  imf  9456  absf  9706