ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  expcllem Unicode version

Theorem expcllem 8920
Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
expcllem.1  F  C_  CC
expcllem.2  F  F  x.  F
expcllem.3  1  F
Assertion
Ref Expression
expcllem  F  NN0  ^  F
Distinct variable groups:   ,,   ,   , F,
Allowed substitution hint:   ()

Proof of Theorem expcllem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elnn0 7959 . 2  NN0  NN  0
2 oveq2 5463 . . . . . . 7  1  ^  ^ 1
32eleq1d 2103 . . . . . 6  1  ^  F  ^ 1  F
43imbi2d 219 . . . . 5  1  F  ^  F  F  ^ 1  F
5 oveq2 5463 . . . . . . 7  ^  ^
65eleq1d 2103 . . . . . 6  ^  F  ^  F
76imbi2d 219 . . . . 5  F  ^  F  F  ^  F
8 oveq2 5463 . . . . . . 7  + 
1  ^  ^  +  1
98eleq1d 2103 . . . . . 6  + 
1  ^  F  ^  + 
1  F
109imbi2d 219 . . . . 5  + 
1  F  ^  F  F  ^  +  1  F
11 oveq2 5463 . . . . . . 7  ^  ^
1211eleq1d 2103 . . . . . 6  ^  F  ^  F
1312imbi2d 219 . . . . 5  F  ^  F  F  ^  F
14 expcllem.1 . . . . . . . . 9  F  C_  CC
1514sseli 2935 . . . . . . . 8  F  CC
16 exp1 8915 . . . . . . . 8  CC  ^ 1
1715, 16syl 14 . . . . . . 7  F  ^ 1
1817eleq1d 2103 . . . . . 6  F  ^ 1  F  F
1918ibir 166 . . . . 5  F  ^ 1  F
20 expcllem.2 . . . . . . . . . . . 12  F  F  x.  F
2120caovcl 5597 . . . . . . . . . . 11  ^  F  F  ^  x.  F
2221ancoms 255 . . . . . . . . . 10  F  ^  F  ^  x.  F
2322adantlr 446 . . . . . . . . 9  F  NN  ^  F  ^  x.  F
24 nnnn0 7964 . . . . . . . . . . . 12  NN  NN0
25 expp1 8916 . . . . . . . . . . . 12  CC  NN0  ^  +  1  ^  x.
2615, 24, 25syl2an 273 . . . . . . . . . . 11  F  NN  ^  +  1  ^  x.
2726eleq1d 2103 . . . . . . . . . 10  F  NN  ^  +  1  F  ^  x.  F
2827adantr 261 . . . . . . . . 9  F  NN  ^  F  ^  + 
1  F  ^  x.  F
2923, 28mpbird 156 . . . . . . . 8  F  NN  ^  F  ^  +  1  F
3029exp31 346 . . . . . . 7  F  NN  ^  F  ^  +  1  F
3130com12 27 . . . . . 6  NN  F  ^  F  ^  +  1  F
3231a2d 23 . . . . 5  NN  F  ^  F  F  ^  +  1  F
334, 7, 10, 13, 19, 32nnind 7711 . . . 4  NN  F  ^  F
3433impcom 116 . . 3  F  NN  ^  F
35 oveq2 5463 . . . . 5  0  ^  ^ 0
36 exp0 8913 . . . . . 6  CC  ^ 0  1
3715, 36syl 14 . . . . 5  F  ^ 0  1
3835, 37sylan9eqr 2091 . . . 4  F  0  ^  1
39 expcllem.3 . . . 4  1  F
4038, 39syl6eqel 2125 . . 3  F  0  ^  F
4134, 40jaodan 709 . 2  F  NN  0  ^  F
421, 41sylan2b 271 1  F  NN0  ^  F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390    C_ wss 2911  (class class class)co 5455   CCcc 6709   0cc0 6711   1c1 6712    + caddc 6714    x. cmul 6716   NNcn 7695   NN0cn0 7957   ^cexp 8908
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909
This theorem is referenced by:  expcl2lemap  8921  nnexpcl  8922  nn0expcl  8923  zexpcl  8924  qexpcl  8925  reexpcl  8926  expcl  8927  expge0  8945  expge1  8946
  Copyright terms: Public domain W3C validator