Theorem expcllem 8920

Description: Lemma for proving nonnegative integer exponentiation closure laws. (Contributed by NM, 14-Dec-2005.)

Hypotheses

Ref	Expression
expcllem.1	⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
expcllem.2	⊢ ((x ∈ 𝐹 ∧ y ∈ 𝐹) → (x · y) ∈ 𝐹)
expcllem.3	⊢ 1 ∈ 𝐹

Assertion

Ref	Expression
expcllem	⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ ℕ0) → (A↑B) ∈ 𝐹)

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B   x,𝐹,y

Allowed substitution hint:   B(y)

Proof of Theorem expcllem

Dummy variables z w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elnn0 7959	. 2 ⊢ (B ∈ ℕ0 ↔ (B ∈ ℕ ∨ B = 0))
2		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (z = 1 → (A↑z) = (A↑1))
3	2	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (z = 1 → ((A↑z) ∈ 𝐹 ↔ (A↑1) ∈ 𝐹))
4	3	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (z = 1 → ((A ∈ 𝐹 → (A↑z) ∈ 𝐹) ↔ (A ∈ 𝐹 → (A↑1) ∈ 𝐹)))
5		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (z = w → (A↑z) = (A↑w))
6	5	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (z = w → ((A↑z) ∈ 𝐹 ↔ (A↑w) ∈ 𝐹))
7	6	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (z = w → ((A ∈ 𝐹 → (A↑z) ∈ 𝐹) ↔ (A ∈ 𝐹 → (A↑w) ∈ 𝐹)))
8		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (z = (w + 1) → (A↑z) = (A↑(w + 1)))
9	8	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (z = (w + 1) → ((A↑z) ∈ 𝐹 ↔ (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹))
10	9	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (z = (w + 1) → ((A ∈ 𝐹 → (A↑z) ∈ 𝐹) ↔ (A ∈ 𝐹 → (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹)))
11		oveq2 5463	. . . . . . 7 ⊢ (z = B → (A↑z) = (A↑B))
12	11	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (z = B → ((A↑z) ∈ 𝐹 ↔ (A↑B) ∈ 𝐹))
13	12	imbi2d 219	. . . . 5 ⊢ (z = B → ((A ∈ 𝐹 → (A↑z) ∈ 𝐹) ↔ (A ∈ 𝐹 → (A↑B) ∈ 𝐹)))
14		expcllem.1	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐹 ⊆ ℂ
15	14	sseli 2935	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ 𝐹 → A ∈ ℂ)
16		exp1 8915	. . . . . . . 8 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑1) = A)
17	15, 16	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝐹 → (A↑1) = A)
18	17	eleq1d 2103	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ 𝐹 → ((A↑1) ∈ 𝐹 ↔ A ∈ 𝐹))
19	18	ibir 166	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝐹 → (A↑1) ∈ 𝐹)
20		expcllem.2	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ 𝐹 ∧ y ∈ 𝐹) → (x · y) ∈ 𝐹)
21	20	caovcl 5597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((A↑w) ∈ 𝐹 ∧ A ∈ 𝐹) → ((A↑w) · A) ∈ 𝐹)
22	21	ancoms 255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ (A↑w) ∈ 𝐹) → ((A↑w) · A) ∈ 𝐹)
23	22	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ 𝐹 ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ 𝐹) → ((A↑w) · A) ∈ 𝐹)
24		nnnn0 7964	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (w ∈ ℕ → w ∈ ℕ0)
25		expp1 8916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((A ∈ ℂ ∧ w ∈ ℕ0) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
26	15, 24, 25	syl2an 273	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ w ∈ ℕ) → (A↑(w + 1)) = ((A↑w) · A))
27	26	eleq1d 2103	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ w ∈ ℕ) → ((A↑(w + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((A↑w) · A) ∈ 𝐹))
28	27	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (((A ∈ 𝐹 ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ 𝐹) → ((A↑(w + 1)) ∈ 𝐹 ↔ ((A↑w) · A) ∈ 𝐹))
29	23, 28	mpbird 156	. . . . . . . 8 ⊢ (((A ∈ 𝐹 ∧ w ∈ ℕ) ∧ (A↑w) ∈ 𝐹) → (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹)
30	29	exp31 346	. . . . . . 7 ⊢ (A ∈ 𝐹 → (w ∈ ℕ → ((A↑w) ∈ 𝐹 → (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹)))
31	30	com12 27	. . . . . 6 ⊢ (w ∈ ℕ → (A ∈ 𝐹 → ((A↑w) ∈ 𝐹 → (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹)))
32	31	a2d 23	. . . . 5 ⊢ (w ∈ ℕ → ((A ∈ 𝐹 → (A↑w) ∈ 𝐹) → (A ∈ 𝐹 → (A↑(w + 1)) ∈ 𝐹)))
33	4, 7, 10, 13, 19, 32	nnind 7711	. . . 4 ⊢ (B ∈ ℕ → (A ∈ 𝐹 → (A↑B) ∈ 𝐹))
34	33	impcom 116	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ ℕ) → (A↑B) ∈ 𝐹)
35		oveq2 5463	. . . . 5 ⊢ (B = 0 → (A↑B) = (A↑0))
36		exp0 8913	. . . . . 6 ⊢ (A ∈ ℂ → (A↑0) = 1)
37	15, 36	syl 14	. . . . 5 ⊢ (A ∈ 𝐹 → (A↑0) = 1)
38	35, 37	sylan9eqr 2091	. . . 4 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B = 0) → (A↑B) = 1)
39		expcllem.3	. . . 4 ⊢ 1 ∈ 𝐹
40	38, 39	syl6eqel 2125	. . 3 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B = 0) → (A↑B) ∈ 𝐹)
41	34, 40	jaodan 709	. 2 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ (B ∈ ℕ ∨ B = 0)) → (A↑B) ∈ 𝐹)
42	1, 41	sylan2b 271	1 ⊢ ((A ∈ 𝐹 ∧ B ∈ ℕ0) → (A↑B) ∈ 𝐹)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  0cc0 6711  1c1 6712   + caddc 6714   · cmul 6716  ℕcn 7695  ℕ₀cn0 7957  ↑cexp 8908

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-nul 3874  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-iinf 4254  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-mulrcl 6782  ax-addcom 6783  ax-mulcom 6784  ax-addass 6785  ax-mulass 6786  ax-distr 6787  ax-i2m1 6788  ax-1rid 6790  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792  ax-precex 6793  ax-cnre 6794  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797  ax-pre-apti 6798  ax-pre-ltadd 6799  ax-pre-mulgt0 6800  ax-pre-mulext 6801

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 742  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rmo 2308  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-if 3326  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-eprel 4017  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-iom 4257  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-riota 5411  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-recs 5861  df-irdg 5897  df-frec 5918  df-1o 5940  df-2o 5941  df-oadd 5944  df-omul 5945  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048  df-ni 6288  df-pli 6289  df-mi 6290  df-lti 6291  df-plpq 6328  df-mpq 6329  df-enq 6331  df-nqqs 6332  df-plqqs 6333  df-mqqs 6334  df-1nqqs 6335  df-rq 6336  df-ltnqqs 6337  df-enq0 6407  df-nq0 6408  df-0nq0 6409  df-plq0 6410  df-mq0 6411  df-inp 6449  df-i1p 6450  df-iplp 6451  df-iltp 6453  df-enr 6654  df-nr 6655  df-ltr 6658  df-0r 6659  df-1r 6660  df-0 6718  df-1 6719  df-r 6721  df-lt 6724  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-sub 6981  df-neg 6982  df-reap 7359  df-ap 7366  df-div 7434  df-inn 7696  df-n0 7958  df-z 8022  df-uz 8250  df-iseq 8893  df-iexp 8909

This theorem is referenced by:  expcl2lemap  8921  nnexpcl  8922  nn0expcl  8923  zexpcl  8924  qexpcl  8925  reexpcl  8926  expcl  8927  expge0  8945  expge1  8946