ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabexd Structured version   GIF version

Theorem oprabexd 5696
Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabexd.1 (φA V)
oprabexd.2 (φB V)
oprabexd.3 ((φ (x A y B)) → ∃*zψ)
oprabexd.4 (φ𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)})
Assertion
Ref Expression
oprabexd (φ𝐹 V)
Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   φ,x,y,z
Allowed substitution hints:   ψ(x,y,z)   𝐹(x,y,z)

Proof of Theorem oprabexd
StepHypRef Expression
1 oprabexd.4 . 2 (φ𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)})
2 oprabexd.3 . . . . . . 7 ((φ (x A y B)) → ∃*zψ)
32ex 108 . . . . . 6 (φ → ((x A y B) → ∃*zψ))
4 moanimv 1972 . . . . . 6 (∃*z((x A y B) ψ) ↔ ((x A y B) → ∃*zψ))
53, 4sylibr 137 . . . . 5 (φ∃*z((x A y B) ψ))
65alrimivv 1752 . . . 4 (φxy∃*z((x A y B) ψ))
7 funoprabg 5542 . . . 4 (xy∃*z((x A y B) ψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)})
86, 7syl 14 . . 3 (φ → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)})
9 dmoprabss 5528 . . . 4 dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} ⊆ (A × B)
10 oprabexd.1 . . . . 5 (φA V)
11 oprabexd.2 . . . . 5 (φB V)
12 xpexg 4395 . . . . 5 ((A V B V) → (A × B) V)
1310, 11, 12syl2anc 391 . . . 4 (φ → (A × B) V)
14 ssexg 3887 . . . 4 ((dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} ⊆ (A × B) (A × B) V) → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} V)
159, 13, 14sylancr 393 . . 3 (φ → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} V)
16 funex 5327 . . 3 ((Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} V) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} V)
178, 15, 16syl2anc 391 . 2 (φ → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) ψ)} V)
181, 17eqeltrd 2111 1 (φ𝐹 V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wal 1240   = wceq 1242   wcel 1390  ∃*wmo 1898  Vcvv 2551  wss 2911   × cxp 4286  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator