Theorem oprabexd 5696

Description: Existence of an operator abstraction. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
oprabexd.1	⊢ (φ → A ∈ V)
oprabexd.2	⊢ (φ → B ∈ V)
oprabexd.3	⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃*zψ)
oprabexd.4	⊢ (φ → 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)})

Assertion

Ref	Expression
oprabexd	⊢ (φ → 𝐹 ∈ V)

Distinct variable groups:   x,A,y,z   x,B,y,z   φ,x,y,z

Allowed substitution hints:   ψ(x,y,z)   𝐹(x,y,z)

Proof of Theorem oprabexd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oprabexd.4	. 2 ⊢ (φ → 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)})
2		oprabexd.3	. . . . . . 7 ⊢ ((φ ∧ (x ∈ A ∧ y ∈ B)) → ∃*zψ)
3	2	ex 108	. . . . . 6 ⊢ (φ → ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃*zψ))
4		moanimv 1972	. . . . . 6 ⊢ (∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → ∃*zψ))
5	3, 4	sylibr 137	. . . . 5 ⊢ (φ → ∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ))
6	5	alrimivv 1752	. . . 4 ⊢ (φ → ∀x∀y∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ))
7		funoprabg 5542	. . . 4 ⊢ (∀x∀y∃*z((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)})
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (φ → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)})
9		dmoprabss 5528	. . . 4 ⊢ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ⊆ (A × B)
10		oprabexd.1	. . . . 5 ⊢ (φ → A ∈ V)
11		oprabexd.2	. . . . 5 ⊢ (φ → B ∈ V)
12		xpexg 4395	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → (A × B) ∈ V)
13	10, 11, 12	syl2anc 391	. . . 4 ⊢ (φ → (A × B) ∈ V)
14		ssexg 3887	. . . 4 ⊢ ((dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ⊆ (A × B) ∧ (A × B) ∈ V) → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∈ V)
15	9, 13, 14	sylancr 393	. . 3 ⊢ (φ → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∈ V)
16		funex 5327	. . 3 ⊢ ((Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∧ dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∈ V) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∈ V)
17	8, 15, 16	syl2anc 391	. 2 ⊢ (φ → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) ∧ ψ)} ∈ V)
18	1, 17	eqeltrd 2111	1 ⊢ (φ → 𝐹 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1240   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃*wmo 1898  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911   × cxp 4286  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  {coprab 5456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459

This theorem is referenced by: (None)