ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oprabex Structured version   GIF version

Theorem oprabex 5697
Description: Existence of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 19-Oct-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
oprabex.1 A V
oprabex.2 B V
oprabex.3 ((x A y B) → ∃*zφ)
oprabex.4 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)}
Assertion
Ref Expression
oprabex 𝐹 V
Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y,z)   𝐹(x,y,z)

Proof of Theorem oprabex
StepHypRef Expression
1 oprabex.4 . 2 𝐹 = {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)}
2 oprabex.3 . . . . 5 ((x A y B) → ∃*zφ)
3 moanimv 1972 . . . . 5 (∃*z((x A y B) φ) ↔ ((x A y B) → ∃*zφ))
42, 3mpbir 134 . . . 4 ∃*z((x A y B) φ)
54funoprab 5543 . . 3 Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)}
6 oprabex.1 . . . . 5 A V
7 oprabex.2 . . . . 5 B V
86, 7xpex 4396 . . . 4 (A × B) V
9 dmoprabss 5528 . . . 4 dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} ⊆ (A × B)
108, 9ssexi 3886 . . 3 dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} V
11 funex 5327 . . 3 ((Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} V) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} V)
125, 10, 11mp2an 402 . 2 {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ ((x A y B) φ)} V
131, 12eqeltri 2107 1 𝐹 V
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242   wcel 1390  ∃*wmo 1898  Vcvv 2551   × cxp 4286  dom cdm 4288  Fun wfun 4839  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-coll 3863  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-reu 2307  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-f1 4850  df-fo 4851  df-f1o 4852  df-fv 4853  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  oprabex3  5698
  Copyright terms: Public domain W3C validator